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La transformada de Fourier de la Derivada Parcial de w.r.t x [ x*f(x) ]

Por favor alguien puede ayudar con la transformada de Fourier de :

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Gracias de antemano!

::Edit:: Esto es lo que estoy tratando de resolver:

$\frac{\partial(p(x, t))}{\partial t} = -A\frac{\partial(xp(x, t))}{\partial x}+\frac{B}{2}\frac{\partial^{2}(xp(x, t))}{\partial x^{2}}$

Donde:[{A, B} = Constantes]

Definir: $FT\{p(x, t)\}(\omega) = \int_{-\infty }^{\infty }p(x, t)e^{-2\pi ix\omega }\,dx$ y $FT^{-1}\{\bar{p}(\omega , t)\}(x) = \int_{-\infty }^{\infty }p(\omega , t)e^{2\pi ix\omega }\,d\omega$

El siguiente paso es convertir cada término, de manera que puede reducir el orden, pero me comencé a leer acerca de las transformadas de Fourier de hace dos días, así que no sé todos los trucos.

Hice uso de las propiedades de abajo para deshacerse de la derivada - pero no tengo idea de cómo convolución x con p(x,t) - puesto que p(x,t) es desconocida.

p(x,t) es una función de densidad - así va a cero en los infinitos (si esto es importante)

Gracias de nuevo!

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ellya Puntos 8756

Así que vamos a tratar y abordar la derivada de primer orden, $\partial_x(xp)=p+x\partial_x p$, echemos un vistazo a la transformada de Fourier del segundo término:

$F(x\partial_x p)=\int_{\mathbb R}x\partial_xpe^{-2\pi i xw}\,dx$

Observe que $\partial_we^{-2\pi i xw}=-2\pi ixe^{-2\pi i xw}$, por lo que

$F(x\partial_x p)=\frac{i}{2\pi}\partial_wF(\partial_xp)=-w\partial_wF(p)$. Por la forma en que me puede estar fuera por algunas constantes, pero el uso de la magia $2\pi=1$ fórmula y todo muy bien.

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Christen Puntos 1

Bien parece que estoy consiguiendo algunos neg signos mal pero la mayoría de mis conclusiones de acuerdo con los suyos. Aquí es lo que tengo:

He recogido estas en línea - no he hecho la integración de mí para que yo pueda estar equivocado.

Identidad 1: $FT\left\{\frac{\partial^{n}p(x, t)}{\partial x^{n}}\right\} = (i2\pi w)^{n}\bar{p}(w, t)$ Nota: No hay signo negativo.

Identidad 2: $FT\{xp(x, t)\} = \frac{i}{-2\pi }\frac{\partial\bar{p}(w, t)}{\partial w}$ Nota: el signo Negativo en el denominador.

Vamos a: $g(x, t) = x\cdot p(x, t)$

Entonces: 1 ID: $FT\left\{\frac{\partial g(x, t)}{\partial x}\right\} = (i2\pi w)\bar{g}(w, t)$

Así que: Por ID 2: $\bar{g}(w, t) = \int_{-\infty }^{\infty }g(x, t)e^{-i2\pi wx}\,dx$ $ = \int_{-\infty }^{\infty }x\cdot p(x, t)e^{-i2\pi wx}\,dx = \frac{i}{-2\pi }\frac{\partial\bar{p}(w, t)}{\partial w}$

Finalmente, mediante la adición de las dos partes: $FT\left\{\frac{\partial xp(x, t)}{\partial x}\right\} = (i2\pi w)\frac{i}{-2\pi }\frac{\partial\bar{p}(w, t)}{\partial w}=w\frac{\partial\bar{p}(w, t)}{\partial w}$

Creo que es correcto! A la derecha?

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