Convergencia de series de potencias con coeficientes eventualmente constantes

Question

Supongamos que tengo una secuencia $f_n$ de series de potencias de la forma $$ f_n(x) = \sum_{i=0}^\infty{a_{n,i}x^i},\quad a_{n,i}=\begin{cases}\alpha_{n,i} & n\leq i,\\b_i & n>i.\end{cases}.\tag{*} $$

Esto implica, en particular, que $a_{n,i}\xrightarrow{n\to\infty}b_i$ para cada $i$ aunque esta convergencia podría no ser uniforme.

Supongamos además que la serie de potencias $f_n$ convergen uniformemente en $[0,1]$ a un límite $f$ . Tengo entendido que la simple convergencia de los coeficientes no es suficiente para concluir la convergencia de una serie de potencias a la serie de potencias correspondiente a los coeficientes límite. Sin embargo, parece que si la serie de potencias $g(x)=\sum_i{b_i x^i}$ tiene un radio de convergencia positivo $r$ entonces, al menos para $0<x<r$ las funciones $f=\lim f_n$ y $g$ coinciden.

Pregunta: ¿Puede el límite $f=\lim_{n\to\infty} f_n$ de series de potencias de la forma (*) se describa en términos de los coeficientes limitadores $b_i$ . En caso afirmativo, ¿cómo?

Answer 1

Esto es falso. Para ver esto, recordemos el teorema de Stone-Weierstrass ( http://en.m.wikipedia.org/wiki/Stone -Teorema de Weierstrass#Versión_compacta_local).

Lo aplicaremos al espacio localmente compacto $X=(0,1]$ . Es fácil ver que $x \mapsto x \in C_0(X)$ . Ahora aplica Stone-Weierstrass en la versión anterior con el álgebra generada por $x^n$ (es decir, el conjunto $A_n = \{\sum_{k=1}^N x^{kn}\mid N \in \Bbb{N}, a_1,\dots a_N \in \Bbb{R}\}$ ) para $n\geq 10$ arreglado. Obsérvese que $A_n$ efectivamente separa los puntos de $X$ y que la suma comienza en $k=1$ no $k=0$ .

Esto implica que existe un polinomio $p_n \in A_n$ tal que $\sup_{x\in X} |x - p_n (x)| < 1/n$ .

Ahora, ponte $f_n (x) := x -p_n(x)$ y observar que la continuidad de $f_n$ en $I= [0,1]$ junto con la convergencia por encima y con la densidad de $X$ en $I$ implica $f_n \to 0 =: f$ de manera uniforme.

Pero la secuencia $f_n$ satisface sus necesidades con $b_1 = 1$ y $b_k =0$ para $k\neq 1$ es decir, para $g( x)=x$ . Pero $g\neq f$ .