Que $S$ sea un subespacio cerrado de un % de espacio de producto interno $H$. ¿Es verdad que el $H = S⊕S^⊥$?

Question

Si $S$ es un subespacio cerrado de un espacio de Hilbert $H$, entonces el $H = S\oplus S^\perp$. ¿Esto es cierto en cada espacio de producto interno?

¿Un ejemplo de un espacio de producto interior que es falso?

Answer 1

Construcción

He aquí una receta para la construcción de "malo" incompleta espacios:

1. Empezar con un espacio de Hilbert $\dim\mathcal{H}=\infty$.
2. Elegir un vector normalizado $e_0$.
3. Extenderlo a un ONB $\mathcal{E}\owns e_0$.
4. Revisión independiente de vectores $b_0:=e_0+\sum_{k=1}^\infty\frac{1}{k}e_k$.
5. Extender a una base de Hamel $\mathcal{B}\supseteq\mathcal{E}$$\mathcal{B}\owns e_0,b_0$.
6. Rip-off para conseguir un ortonormales sistema de $\mathcal{S}:=\mathcal{E}\setminus\{e_0\}$.
7. Rip-off para conseguir un lineal de un sistema independiente $\mathcal{L}:=\mathcal{B}\setminus\{e_0\}$.
8. Span su incompleta espacio de $X:=\langle\mathcal{L}\rangle$.

A continuación, el ortonormales sistema es máxima $\mathcal{S}^\perp=(0)$ pero no un ONB $\overline{\langle\mathcal{S}\rangle}\neq X$.

Ejemplo

Ahora, consideremos el subespacio cerrado $Z:=\overline{\langle\mathcal{S}\rangle}$. Entonces es $X\neq Z\oplus Z^\perp$.

Answer 2

Que $X$ ser el espacio de funciones continuas en $[-1,1]$ % producto escalar $(f,g)\mapsto \int_{-1}^1 f(x)g(x) dx$y $S$ un subespacio de todos funciones $f$ $f([-1,0])={0}$. $S$ está cerrado en $X$ (aunque no en $L_2$) y $S^\perp$ es el espacio de funciones desapareciendo en $[0,1]$. Pero entonces satisface a cada función $g$ $S\oplus S^\perp$ $g(0)=0$, que $X\neq S\oplus S^\perp$.