$A_{4}$ subgrupo único de $S_4$ de orden $12$

Question

Estaba leyendo la prueba de que $A_{4}$ es el único subgrupo de orden $12$ .

Así que el autor cuenta el número de conjugados:

$1$ ciclo de tipo $()$ , $6$ ciclos de tipo $(1 \ 2)$ , 8 ciclos de tipo $(1 \ 2 \ 3)$ , $6$ ciclos de tipo $(1 \ 2 \ 3 \ 4)$ y $3$ ciclos de tipo $(1 \ 2)(3 \ 4)$ .

Ahora dice, la única forma posible de conseguir $12$ elementos es $1 + 3 + 8$ . ¿Por qué es esto? ¿No podemos tener $1$ ciclo de tipo $()$ , $2$ ciclos de tipo $(1 \ 2)$ , $3$ ciclos de tipo $(1 \ 2 \ 3)$ , $2$ ciclos de tipo $(1 \ 2)(3 \ 4)$ y $4$ ciclos de tipo $(1 \ 2 \ 3 \ 4)$ . Esto también le da $12$ . Pero, ¿por qué es imposible? Realmente no entiendo porque la única posibilidad es $1 + 3 + 8$ .

Answer 1

Un subgrupo de índice 2 es siempre normal. Dos elementos de $S_n$ son conjugados si tienen el mismo tipo de ciclo. Por tanto, si tu subgrupo contiene un elemento de un tipo de ciclo determinado, lo contiene todo. Como el subgrupo debe contener la identidad, y sólo hay una forma de obtener 11 como suma de ${3,6,6,8}$ , $A_4$ es la única posibilidad.

Answer 2

Otra forma de demostrar este resultado.

Un subgrupo de índice $2$ es siempre normal, por lo que $A_4$ es normal en $S_4$ .

Supongamos por absurdo que $H\ne A_4$ es otro subgrupo de $S_4$ de orden $12$ .

Usando el segundo teorema del isomorfismo, obtenemos:

$$\vert H.A_4\vert =\frac{\vert H\vert \cdot\vert A_4\vert }{\vert H\cap A_4\vert }=\frac {144}{\vert H\cap A_4\vert }.$$

Utilizando el teorema de Lagrange, obtenemos que:

$$\frac{144}{\vert H\cap A_4\vert}\text{ divides }\vert S_4\vert=24.\qquad (\star)$$

Pero como $H\ne A_4$ tenemos $\vert H\cap A_4\vert<12$ .

Así que con $(\star)$ obtenemos $\vert H\cap A_4\vert=6$ .

Pero $A_4$ no puede tener un subgrupo de orden $6$ .

Si tuviera una $K$ sería normal (ya que de índice $2$ ), y por el teorema de Cauchy existiría $s\in K$ de orden $3\mid 6$ : $s$ sería un $3$ -ciclo.

Pero el $3$ -Los ciclos se conjugan así $K=A_4$ de orden $12$ lo cual es absurdo.