Lo contrario de Vaught ' s prueba

Question

Yo trabajo en primer orden la lógica.

Me di cuenta de que una teoría completa que es satisfecho por finito de modelos sólo pueden ser satisfechos por los modelos de un determinado fijo de cardinalidad finita. Me hizo pensar en lo contrario de Vaught de la prueba todos los supuestos, sino $\kappa$-categoricity. Es decir,

hay una consistente teoría completa sin finito de modelos contables lenguaje tal que para cada infinita cardenal $\kappa$ la teoría no es $\kappa$categoría?

Da un ejemplo de una de estas teorías también me gustaría encontrar interesante saber cómo ha integridad sido demostrado.

Answer 1

Un ejemplo natural matemáticamente es la teoría de campos real cerradas. Reales que no son algebraicas pueden ser incluidos u omitidos en modelos de cardinalidad arbitraria que desee, mediante compactación y omitiendo tipos; y un modelo de RCF, aunque tenga automorphisms no triviales, incrustar reales algebraicos de manera única, por lo que cortes racionales se realizan es un isomorfismo invariante.

Answer 2

Russoo dio (en un comentario, por desgracia), el ejemplo de $(\mathbb{N},+,\cdot,0,1)$. Mientras que funciona, hay más ejemplos. Deje $L$ ser el idioma con un predicado unario $P_n$ por cada $n \in \mathbb{N}$, y deje $T$ afirman estos predicados son distintos, y que cada uno tiene una infinidad de realizaciones. $T$ es completa, y no es categórica para cualquier $\kappa$: para cualquier $\kappa$, hay modelos de tamaño $\kappa$ que contiene un punto que no en cualquier $P_n$, y hay modelos con ningún punto. $T$ es manso en que es estable, si usted sabe lo que eso significa.

Para esto $T$, y para teorías similares, hay otra prueba de que funciona si usted está tratando de mostrar a la integridad:

Deje $T$ ser de cualquier teoría. Si, para cada $\aleph_0$saturado $M,N$ modelado $T$, la familia de isomorphisms entre finitely generado subestructuras de $M$ $N$ tiene de ida y vuelta a la propiedad, a continuación, $T$ elimina los cuantificadores. Si, además, para todos los modelos, que la familia no está vacía, $T$ es completa. (Una familia $\mathcal{F}$ de funciones parciales $M \to N$ tiene de ida y vuelta a la propiedad si, por cualquier $f \in \mathcal{F}, a \in M, b \in N$, $f_1,f_2 \in \mathcal{F}$ extender $f$ tal que $a$ está en el dominio de $f_1$ $b$ está en el rango de $f_2$.)

Answer 3

Podría haber encontrado otro ejemplo aquí.