implica de $\| u \|_{W^{k,p}(K)} \leq c$ cada $K \subset U$ $u \in W^{k,p}(U)$

Question

Que $U \subset \mathbb{R}^n$. Quiero mostrar que una función particular $u$ se encuentra en $W^{k,p}(U)$. Yo ya pude mostrar que $| u |_{W^{k,p}(K)} \leq c$ para cada conjunto relativamente compacto $K \subset U$. ¿Ahora me pregunto si esto ya implica que $u \in W^{k,p}(U)$?

Answer 1

Si la constante $c$ puede elegirse independiente de $K$, entonces la afirmación es verdadera: Let $(K_j)$ ser una secuencia de los subconjuntos compactos de $U$ tal que $\cup_jK_j=U$ y $Kj\subset K{j+1}$ % todos $j$.

Tomar un multiindex $\alpha$ $|\alpha|\le k$. Entonces la funciones $|\chi_{Kj}D^\alpha u|$ converge monótonamente a $|D^\alpha u|$. Por el teorema de convergencia monótona $$ c\ge \int{K_j}| D ^ u \alpha | dx = \intU | \chi{K_j}D^\alpha u | DX \to \int_U | D ^ u \alpha | DX, por lo tanto $$ $D^\alpha u\in L^p$.