Encuentre $I$ en $\frac{\overline{SIX}}{\overline{NINE}}=\frac23$

Question

En $\frac{\overline{SIX}}{\overline{NINE}}=\frac23$ cada letra denota un dígito ÚNICO, encuentra $I$ .

Expandir la fracción en base $10$ que tenemos:
$300S+30I+3X=2020N+200I+2E$ pero esto no ayuda mucho. Podemos deducir que como $\overline{SIX}\lt1000$ así que $\overline{NINE}\lt1500$ Ahora sabemos que $N=1$ Cómo encontrar otros dígitos especialmente $I$ ?

Answer 1

$$3\times\overline{SIX}=2\times\overline{NINE}$$

Como ha escrito, tenemos $N=1$ . Además, sabemos que $X$ está en paz.

Separemos los casos. En lo que sigue, dejemos que $[n]$ sea el dígito más a la derecha de $n$ .

Caso 1 : $X=0$ . Entonces, $E=0,5$ de $[2E]=[3X]=0$ . Si $E=0$ entonces como los dos dígitos más a la derecha de $3\times\overline{IX}$ tiene que ser $20$ Tenemos que tener $[3I]=2$ así que $I=4$ que es suficiente. Si $E=5$ entonces $[3I]=3$ así que $I=1$ que no es suficiente ya que $1115$ no es un múltiplo de $3$ .

Caso 2 : $X=2$ . Entonces, $E=3,8$ . Si $E=3$ entonces $[3I]=2$ así que $I=4$ . Si $E=8$ entonces $[3I]=3$ así que $I=1$ que no es suficiente.

Caso 3 : $X=4$ . Entonces, $E=1,6$ . Si $E=1$ entonces $[3I]=1$ así que $I=7$ que no es suficiente. Si $E=6$ entonces $[3I]=2$ así que $I=4$ .

Caso 4 : $X=6$ . Entonces, $E=4,9$ . Si $E=4$ entonces $[3I]=1$ así que $I=7$ que no es suficiente. Si $E=9$ entonces $[3I]=2$ así que $I=4$ .

Caso 5 : $X=8$ . Entonces, $E=2,7$ . Si $E=2$ entonces $[3I]=0$ así que $I=0$ que no es suficiente. Si $E=7$ entonces $[3I]=1$ así que $I=7$ que no es suficiente.

Por lo tanto, $\color{red}{I=4}$ . $\left(\frac{940}{1410},\frac{942}{1413},\frac{944}{1416},\frac{946}{1419}\right)$

P.D. "cada letra denota un dígito ÚNICO" entonces $\frac{942}{1413}$ es la única solución.

Answer 2

Porque $N=1$ la ecuación es:

$300S + 3X = 2020 + 170I +2E$

Vamos a escribirlo $R(S,X) = L(I,E)$ .

Observamos que $L(5,0)=2870$ y $R(9,9)=2727 < L(5,0)$ así que $I<5$ .

Comprobemos los 5 valores posibles restantes para $I$ :

• $I=0$

Entonces $2020 \leq L(0,E) \leq 2038$
Pero $R(7,0)=2100$ y $R(6,9) = 1827$ por lo que no podemos tener $R(S,X) = L(0,E)$ .
Por lo tanto, $I=0$ no es posible.

• $I=1$

Entonces $2190 \leq L(1,E) \leq 2208$
Pero $R(8,0)=2400$ y $R(7,9) = 2127$ por lo que no podemos tener $R(S,X) = L(1,E)$ .
Por lo tanto, $I=1$ no es posible.

• $I=2$

Entonces $2360\leq L(2,E) \leq 2378$
Pero $R(8,0)=2400$ y $R(7,9) = 2127$ por lo que no podemos tener $R(S,X) = L(2,E)$ .
Por lo tanto, $I=2$ no es posible.

• $I=3$

Entonces $2530\leq L(3,E) \leq 2548$
Pero $R(9,0)=2700$ y $R(8,9) = 2427$ por lo que no podemos tener $R(S,X) = L(3,E)$ .
Por lo tanto, $I=3$ no es posible.

• $I=4$

Entonces $2700\leq L(4,E) \leq 2718$
Tenemos $R(8,9) = 2427 < 2700$ por lo que debemos tener $S=9$ .
La ecuación se convierte en $3X=2E$ . Encontramos 4 soluciones: $(0,0), (2,3), (4,6), (6,9)$ .

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Finalmente, $I=4$ y las 4 soluciones son: $\left(\frac{940}{1410},\frac{942}{1413},\frac{944}{1416},\frac{946}{1419}\right)$ .