Evaluar este límite en términos de f

Question

Quiero evaluar el siguiente límite:

$$\lim_{d\to x} \dfrac{\dfrac{2x}{f'(x)}+f(x)-f(d)-\dfrac{x^2-d^2}{f(x)-f(d)}}{2\left(\dfrac{d-x}{f(x)-f(d)}+\dfrac{1}{f'(x)}\right)}$$

He intentado la regla de L'hopital pero mantiene apenas consigue peor y peor.

Tengo este límite por preguntando acerca de círculos en una curva en un punto de $(x,f(x))$ y este límite es la coordenada de $x$ del centro de los círculos, en términos de un punto ficticio $d$.

Answer 1

Esto no es bonito, pero funciona:

Multiplique la parte superior e inferior por $f'(x)(f(x)-f(d))$ a un claro denominador, dando: $$ \lim_{d \a x} \frac{2x(f(x)-f(d))+f'(x)(f(x)-f(d))^2-f'(x)(x^2-d^2)}{2(f(x)-f(d)-f'(x)(x-d))} $$ Mediante la adición de $(x-d)^2f'(x)-(x-d)^2f'(x)$ para el numerador, esto se convierte en $$ \lim_{d \a x} \frac{2x(f(x)-f(d))-2xf'(x)(x-d) + f'(x)(f(x)-f(d))^2+f'(x)(x-d)^2}{2(f(x)-f(d)-f'(x)(x-d))} $$ $$ = x + \lim_{d \a x} \frac{f'(x)(f(x)-f(d))^2+f'(x)(x-d)^2}{2(f(x)-f(d)-f'(x)(x-d))} $$

Ahora use la Regla de L'Hospital, diferenciando con respecto a $d$, para dar: $$ =x+ \lim_{d \a x} \frac{-2f'(x)f'(d)(f(x)-f(d))-2f'(x)(x-d)}{2f'(x)-2f'(d)} $$ Esta es todavía una forma indeterminada, por lo que cancelar la $2$'s, y el uso de L'Hospital de la Regla de nuevo: $$ =x + \lim_{d \a x} \frac{f'(x)f'(d)^2-f'(x)f"(d)(f(x)-f(d)) + f'(x)}{-f"(d)} $$ $$ =x - \lim_{d \a x} \frac{f'(x)f'(d)^2+f'(x)}{f"(d)} $$ $$ =x - \frac{f'(x)+(f'(x))^3}{f"(x)} $$ Mientras $f''(x) \neq 0$.