Calculando el área de un paralelogramo usando la longitud de dos diagonales

Question

¿Existe una fórmula para calcular el área de un paralelogramo usando solo la longitud de las diagonales? Si es así, ¿cuál es?

Answer 1

No. Imagina dos diagonales fijas que están unidas y pueden rotar en el centro. Al pivotar, se inducen diferentes paralelogramos; si están casi paralelos, el área estará cerca de cero.

Answer 2

Imagina que las dos diagonales son palos de madera, con un clavo que las mantiene juntas alrededor del centro, excepto que puedes rotar una de las diagonales alrededor del clavo. Al hacer el ángulo entre las diagonales pequeño, puedes hacer que el área sea tan pequeña como desees. Al "abrir" el ángulo para que sea $90^\circ$, puedes maximizar el área.

Observación: El área del paralelogramo es $\frac{1}{2}pq\sin\theta$, donde $p$ y $q$ son las longitudes de las diagonales, y $\theta$ es el ángulo entre las diagonales. Pero no es necesario saber eso para ver que el área no está determinada por las longitudes.

Answer 3

Si las diagonales se dan en forma de vector, entonces, como dijo @RecklessReckoner, una diagonal es la suma de vectores $a+b$ y la otra es la suma de vectores $a-b$. Entonces tienes dos ecuaciones y dos variables, puedes encontrar los vectores $a$ y $b, luego simplemente encontrar la magnitud de su producto cruzado.

Si las diagonales son los vectores $p$ y $q$, el área se puede representar como la magnitud del producto cruzado: $\frac 14 (p+q) \times (p-q)$.