Sea$G$ un grupo finito tal que cualquier subgrupo$H \le G$ admite un complemento único$K$.
Pregunta : ¿Es$G$ cíclico?
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Sébastien Palcoux
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Este resultado admite prueba en los subgrupos de celosía nivel.
Deje $\mathcal{L}(G)$ ser los subgrupos de celosía de $G$, entonces podemos ver que $\mathcal{L}(G)$ no admitir sublattice equivalente a la siguiente diamante o pentágono celosías
Pero hay el siguiente resultado (ver teorema 101 p 109 en este libro):
Teorema: Una celosía es distributiva iff no tiene sublattice equivalente a la del diamante de celosía o el pentágono de celosía.
De ello se desprende que el entramado $\mathcal{L}(G)$ es distributiva.
El resultado de la siguiente manera por un resultado de Oystein de Mineral de 1938 (teorema 4 p 267 en este documento):
Teorema: Un grupo finito es cíclico iff sus subgrupos de celosía es distributiva.
Comentario: se observa que el $\vert G \vert$ es la plaza libre.
Comentario: como corolario de la prueba, vemos que la más generalizada declaración para que le sustituya "complemento" por "lattice-complemento" (es decir,$\langle H,K \rangle =G $$H \cap K = 1$) también es cierto.
Tome $p$ un primer dividiendo $|G|$ $p$- Sylow $S$ admite un único complementar $H$. El cardenal de $H$ es el primer a $p$. Ahora tome $S'$ otro $p$-Sylow, es claro que va a ser un complemento de $H$ (en la intersección con la a $H$ es trivial y, a continuación, $S'H$ no puede sino ser $G$ por cardinalidad). Por lo tanto $G$ admite un único $p$-Sylow ya que todos ellos son complemento de la misma $H$.
De esto se sigue que :
$$G=S_{p_1}\times...\times S_{p_r} $$
$G$ es un producto de su $p$-Sylows. Ahora, porque de esta descomposición, la propiedad tiene por $G$ si y sólo si se cumple para cualesquiera de sus $p$-Sylows.
Suponga $S$ es un no-abelian $p$-grupo, entonces su centro no admite complemento.
Suponga $G=Z(G)H$ $H$ es no trivial de la $p$-grupo, por lo tanto admite un no-trivial centro que deberá ser incluido en $Z(G)$ (cualquier $G$ $zh$ donde $z$ es central y $h$ conmuta con cualquier elemento del centro de $h$) contradiciendo el complemento de la asunción.
Suponga $S$ es un abelian $p$-grupo de no-cíclico, a continuación, el grupo generado por un elemento de la máxima orden de la admite al menos dos diferentes complementos.
El uso de la descomposición de abelian grupos.
Suponga $S$ es cíclica $p$-grupo no trivial adecuada subgrupos de $S$ admite un complemento.
El uso de la unicidad de los subgrupos de orden dado en forma cíclica grupos.
El uso de los tres últimos resultados conseguimos que un $p$-grupo la satisfacción de su condición es necesaria cíclico de orden $p$.
En particular, $G$ es cíclico.
