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Question

Mis últimos intentos de investigación quedó atascado en la siguiente integral:

$$\int_{-1}^{1} \frac{1}{(1+u^2)^{n/2}} \exp{\left(-2\pi \frac{a^2+b^2}{1+u^2}\right)} \exp{\left(-4\pi i ab \frac{u}{1+u^2}\right)} \mathrm{d}u $$

Es la más "compacto" de la versión (aparte de los factores numéricos) se obtiene de la partida problema

$$\int_{0}^{1} \frac{1}{(2x^2-2x+1)^{n/2}} e^{-A(x)\pi a^2} e^{-B(x)\pi b^2}e^{2\pi C(x) ab}\mathrm{d}x$$

donde

$$A(x)=2-\frac{(2x-1)^2}{2x^2-2x+1}\qquad B(x)=\frac{1}{2x^2-2x+1}\qquad C(x)=-\frac{2x-1}{2x^2-2x+1}$$

y con $a,b\in \mathbb{R}^n$ ($ab=a\cdot b$). He probado con varios substutions (aparte de las $u=2x-1$), integración por partes, integración, derivación con respecto a un parámetro ("Feynman truco"), la explotación del complejo exponencial como el coseno/sinusoidal, pero creo que el principal obstáculo para una "buena" la sustitución es la presencia del término lineal $u$ en el complejo exponencial. Estoy interesado en una forma cerrada, si los hubiere.

Answer 1

Sugerencia:

$\int_{-1}^1\dfrac{1}{(1+u^2)^\frac{n}{2}}e^{-2\pi\frac{a^2+b^2}{1+u^2}}e^{-4\pi iab\frac{u}{1+u^2}}~du$

$=\int_{-\frac{\pi}{4}}^\frac{\pi}{4}\dfrac{1}{(1+\tan^2x)^\frac{n}{2}}e^{-2\pi\frac{a^2+b^2}{1+\tan^2x}}e^{-4\pi iab\frac{\tan x}{1+\tan^2x}}~d(\tan^2x)$

$=\int_{-\frac{\pi}{4}}^\frac{\pi}{4}e^{-2\pi(a^2+b^2)\cos^2x}e^{-2\pi iab\sin2x}\cos^{n-2}x~dx$