Expansión en serie de Taylor de una función definida implícitamente $x^2 +y^2=y, y(0)=0$

Question

Hallar los 6 primeros términos de la serie de Taylor para $y$ en poderes de $x$ de la siguiente función definida implícitamente;

$$x^2 +y^2=y, \ \ \ y(0)=0$$

Estoy un poco atascado en cómo proceder ¿necesito diferenciar implícitamente la función tal que $y'=\frac{-2x}{(1-2y)}$ y otra vez para encontrar $y'',y^{(3)},...,y^{(6)}$ y, a continuación, introdúzcalos en la expansión de Taylor y establezca $y=0$ o $y=x$ ?

o defino decir $f(x,y):=x^2+y^2-y=0$ y hacer una expansión multivariante?

Answer 1

pista

Si $$y=a_1x+a_2x^2+...a_6x^6+...$$

entonces

$$y^2=a_1^2x^2+a_2^2x^4+a_3^2x^6+2a_1a_2x^3+2a_1a_3x^4+2a_1a_4x^5+2a_1a_5x^6+2a_2a_3x^5+2a_2a_4x^6+...$$

por otra parte

$$y-y^2=x^2$$

por tanto, por identificación,

$a_1=0$

$a_2=1$

puedes cogerlo.

Answer 2

Tu primer enfoque es el correcto. Aunque, para encontrar $y''(0)$ Creo que es más fácil diferenciar $2x+2yy'=y'$ y luego resolver para $y''$ que diferenciar $\frac{-2x}{1-2y}$ . Y así sucesivamente durante $y'''(0)$ etc.

Answer 3

Sólo añadido para su curiosidad.

Si utilizas la sugerencia de hamam_Abdallah, escribiendo $$y=\sum_{k=1}^n a_k\,x^k$$ y sustituyendo, obtendrá $$0=-a_1 x+\left(a_1^2-a_2+1\right) x^2+(2 a_1 a_2-a_3) x^3+\left(a_2^2+2 a_1 a_3-a_4\right) x^4+(2 a_2 a_3+2 a_1 a_4-a_5) x^5+\left(a_3^2+2 a_2 a_4+2 a_1 a_5\right) x^6+(2 d_3 d_4+2 d_2 d_5+2 d_1 d_6-d_7) x^7+\cdots$$ Dado que esto es válido para todos los $x$ , establezca cada coeficiente igual a $0$ (hazlo de uno en uno). Rápidamente se dará cuenta de que $a_{2k+1}=0$ y que, para $a_{2k}$ la secuencia es $\{1,1,2,5,14,42,132,429,1430,\cdots\}$ . Estos son Números catalanes que encontrarás en muchos problemas de recuento.

Esto hace que $$y=\sum_{k=1}^\infty C_k\, x^{2k}=\sum_{k=1}^\infty \frac{(2n)!}{n! \, (n+1)!}\, x^{2k}$$