Esto se parece a lo que preocupa aquí es cómo elegir entre, específicamente, los sistemas de prueba para el clásico de la lógica de primer orden, con los ejemplos de Hilbert sistemas de deducción natural o sequent cálculo, todos en diferentes variantes.
Estás no se habla acerca de cómo elegir entre los clásicos de la lógica de primer orden y, por ejemplo intuitionistic la lógica, ni acerca de cómo elegir fundacional de la teoría de la razón sobre con su lógica (como ZFC o NF teoría de conjuntos, o tal vez PA formal de la teoría de números).
A continuación, podemos responder a su segunda pregunta rápida: Sí, todos los sistemas de prueba para el clásico de la lógica de primer orden son equivalentes entre sí. De lo contrario, no ser los sistemas de prueba para el clásico de la lógica de primer orden! Es decir, un sistema a prueba clásica de primer orden de la lógica ha de demostrar exactamente las vinculaciones que son lógicamente válidas según el modelo habitual de la teoría de la semántica de la lógica de primer orden.
En general es bastante fácil demostrar que dos de estos sistemas son equivalentes. Puede reescribir una prueba en uno de ellos a una prueba en otro por pieza por pieza, cada axioma o regla de inferencia en cada uno de los sistemas corresponde a una pequeña pieza de razonamiento que podemos ver de una vez por todas de que un determinado otro sistema puede expresar. La traducción de una prueba de pieza por pieza, generalmente, no va a producir una elegante prueba en el sistema de destino, pero sin duda será una válida la prueba.
Ahora, para la primera pregunta, que tiene dos respuestas.
La primera es, elegir el sistema que hace que lo que usted quiere hacer fácil. Algunas propiedades de las pruebas son particularmente fáciles de expresar en el secuente cálculo. Hilbert sistemas tienen largo y difícil de manejar las pruebas, pero relativamente pequeña y breve definición de lo que es una buena prueba de ello es, que los hace útiles para la configuración de donde usted necesita una formalización. Deducción Natural es relativamente cerca de la forma en que trabajan los matemáticos, de hecho, escribir pruebas, al menos en comparación con los otros estilos.
Cuál de estas propiedades se ponen más peso en depende de lo que realmente quieren hacer con sus pruebas. Y hacer esa pregunta, en primer lugar, presupone que se va a hacer algo con ellos además de escribirlas y esperamos que usted pueda obtener los derechos de fanfarronear hacerlo. Esta suposición a menudo no es cierto.
Esto nos lleva a la segunda, real, respuesta: Como un trabajo matemático no elegir un sistema a prueba de trabajar en todo. A menos que usted esté específicamente matemático lógico y matemáticas acerca de la lógica, de no estar en el negocio de la producción de pruebas en absoluto.
Real pruebas matemáticas están escritos en inglés (u otro comparable lenguaje natural, por supuesto), no como formal secuencias de símbolos en un sistema a prueba. Lo que está permitido en una prueba es algo que usted supuestamente obtener una intuición de como un subproducto de su estudio de las matemáticas. Es como todo mundo lo hizo antes de que la lógica formal fue inventado en las décadas alrededor de 1900, y se logra, por lo general, un muy buen consenso acerca de lo que es una prueba convincente de que paso y lo que no lo es. Es en gran medida cómo todo el mundo todavía lo hace.
Este acuerdo informal de que las pruebas son convincentes o no viene primero. Las reglas de la lógica formal son un intento de reproducir el sector informal de consenso en la forma de preciso, seleccionable reglas. Están muy exitoso en eso, pero es todavía sólo un mapa, no del actual territorio de pensamiento matemático.
