Ceros de raíz más grande de la familia de polinomios parametrizados

Question

$\newcommand{\a}{\alpha} \newcommand{\bb}{\mathbb} \newcommand{\b}{\beta}$ La pregunta se origina a partir de un comentario por reuns de esta pregunta de la Geometría del conjunto de coeficientes tales que monic polinomios con raíces dentro de la unidad de disco.

Deje $\a = (\a_0, \dots, \a_{n-1}) \in \bb R^n$ ser fijas y $\a \neq 0$. Consideramos que la parametrización de la familia de monic polinomios con grado de $n$ $$ f(r, z) = z^n + r\a_{n-1} z^{n-1} + \dots + r \a_1 z + r \a_0,$$ donde $r \in \bb R$.

Para cada una de las $r \in \bb R$, vamos a $L(r)$ denotar el mayor módulo de raíces de $f(r, z)$. $L(r)$ no es un polinomio en a$r$ (Es el más grande de la raíz de una parametrización de la familia de polinomios de nuevo polinomio?). Pero $L(r)$ debe ser una función continua sobre $r$. Me pregunto si el número de ceros de $L(r) - 1$ es finito.

Siguiente era de algún intento fallido. Ver la pregunta y los comentarios de aquí Si los coeficientes son funciones polinómicas de más de $\mathbb R$ de un monic polinomio, podemos encontrar $n$ funciones continuas que constituyen las raíces?. Creo que los ceros debe ser finito. De manera informal, podemos considerar $$ f(r, z) = z^n + \a_{n-1}(r) z^{n-1} + \dots + \a_1(r) + \a_0(r).$$ Esto sólo reescribe $r \a_i$ como una función más de $r$. Ya que se considera sólo a $r \in \bb R$existe $n$ funciones continuas $\b_0(r), \dots, \b_{n-1}(r)$, que para cada una de las $r \in \bb R$, constituye las raíces de $f(r, z)$. Por Vieta de la fórmula, todos los $\b_j(r)$ debe ser funciones polinómicas en $r$ (Esta parte me siento es problemático). A continuación, para cada una de las $j$, $\b_j(r) - 1$ tendría en la mayoría de los $n$ ceros. El peor escenario sería que estos ceros sucediendo de manera independiente en el sentido de: los ceros de $\b_j(r) -1 $ son las $r$'s $\b_j(r)$ también es el más grande de la raíz del módulo. Esto nos da $n^2$ ceros de $L(r) -1 $. Es este argumento correcto? Podría de una manera más rigurosa obligado a ser siempre?

---

Edit: Antes de que comenzara la recompensa, no hay una respuesta por Akari Gale que no estoy seguro de . Esta es una de las razones por las que comenzó una recompensa. A partir de ahora, hay una downvote de la respuesta. Podría alguien dejar un comentario en ¿por qué la respuesta es no ¿OK? Gracias.

Answer 1

Si $L(r) = 1$ para algunos $r$, a continuación, $z=cos(x) + isin(x)$ es una raíz de $f(r, z)$ para algunos $x \in \mathbb{R}$. Podemos escribir $$0 = z^n + r\alpha_{n-1}z^{n-1} + ... + r\alpha_1z + r\alpha_0 \Rightarrow r =-\frac{-1}{\alpha_{n-1}z^{-1} + ... + \alpha_1z^{-n+1} + \alpha_0z^{-n}}$$ así $$\alpha_{n-1}z^{-1} + ... + \alpha_1z^{-n+1} + \alpha_0z^{-n} \in \mathbb{R} \Rightarrow $$ $$\alpha_{n-1}\sin(-x) + ... + \alpha_1 \sin((-n+1)x) + \alpha_0 \sin(-nx) = 0 \Rightarrow$$ $$\alpha_{n-1} \sin(x) + ... + \alpha_1 \sin((n-1)x) + \alpha_0 \sin(nx) = 0$$ Puede ser escrita en la forma $P(\sin(x), \cos(x)) = 0$ para $P \in \mathbb{R}[X, Y]$ el uso de múltiples ángulos fórmulas. O $P(\frac{1-t^2}{1+t^2}, \frac{2t}{1+t^2}) = 0$

Si este polinomio después de la multiplicación por $(1 + t^2)^n$ no es cero, entonces r no es sólo un número finito de valores posibles.