Fuerza de "todo esquema afín es compacto"

Question

Uno de los primeros resultados que uno suele ver, justo después de definir los esquemas, es que los esquemas afines son compactos, sin embargo esta afirmación es más fuerte que $\mathsf{ZF}$ : En $\mathsf{ZFC}$ tenemos que $$\operatorname{Spec}\left(\prod_{i=1}^\infty\Bbb F_2\right)\cong\beta\Bbb N,$$ la compactación Stone-Cech en $\Bbb N$ pero en $\mathsf{ZF}$ los únicos ultrafiltros que podemos demostrar que existen en $\Bbb N$ son los principales, correspondientes a $\Bbb N\subseteq\beta\Bbb N$ que es un subespacio discreto, por lo que no es compacto. Por lo tanto, si $\beta\Bbb N\setminus\Bbb N=\varnothing$ tenemos un esquema afín que no es compacto.

¿Es la afirmación "todo esquema afín es compacto" equivalente a alguna afirmación más conocida sobre $\mathsf{ZF}$ ? ¿O implica/está implícito en algunas afirmaciones más conocidas más débiles que $\mathsf{AC}$ ?

Answer 1

La afirmación de que todo esquema afín es compacto es equivalente a la Teorema del ideal primo booleano que es una conocida forma débil de elección (estrictamente más débil que la AC completa) que es equivalente a muchas otras aplicaciones comunes de la elección (por ejemplo, es equivalente al teorema de compacidad en la lógica de primer orden, o al teorema de Tychonoff para los espacios de Hausdorff).

De hecho, la prueba habitual de que un esquema afín es compacto utiliza el axioma de elección sólo para decir que cualquier anillo conmutativo no nulo tiene un ideal primo, lo que se sabe que es equivalente al teorema del ideal primo booleano. A la inversa, en el caso especial de un anillo $A=\mathbb{F}_2^S$ para algún conjunto $S$ La compacidad de $\operatorname{Spec} A$ es exactamente la afirmación de que cualquier colección de subconjuntos de $S$ con la propiedad de intersección finita está contenida en un ultrafiltro sobre $S$ . Esta afirmación para la arbitrariedad $S$ es equivalente al teorema del ideal primo booleano.