Todo nilpotente $2 \times 2$ las matrices satisfacen $A^{2}=0$

Question

Tengo problemas para demostrar que si $A$ es un $2 \times 2$ y si existe algún número entero positivo tal que $A^{n}=0$ entonces $A^{2}=0$ . Sólo mostré que $A$ es una matriz singular pero nada más. Gracias cualquier ayuda será apreciada.

Answer 1

El único valor propio de $A$ es $0$ : si $Av=\lambda v$ entonces $A^nv=\lambda^nv$ .

Por lo tanto, $$ a_{11}+a_{22}=0 $$ También el determinante es $0$ Así que $a_{11}a_{22}-a_{12}a_{21}=0$ .

Por lo tanto, $a_{22}=-a_{11}$ y $a_{12}a_{21}=-a_{11}^2$ .

Ahora calcule $A^2$ .

Answer 2

Si $A$ es un nilpotente $2 \times 2$ - matriz, entonces $0$ es el único valor propio de $A$ .

( $Ax = \mu x$ implica $0=A^2x= \mu^2x$ ).

De ahí el carácter. Polinomio ist $p(\mu)=\mu^2$ . Ahora invoca a Cayley-Hamilton.

También es posible una demostración directa: dejemos que $A=\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}$ , computa $A^2$ y determinar $a,b,c$ y $d$ a través de $A^2=0$ .

Answer 3

Si $A^n =O$ entonces $f(x) = x^n$ es un polinomio aniquilador de $A$ . Por lo tanto, el polinomio mínimo de $A$ es $m(x)= x^k$ para algunos $k\leqslant n$ . Por el teorema de Hamilton-Cayley, el polinomio característico $p(x) $ de $A$ aniquila $A$ . Desde $p(x) =\det(A-xI)$ , $\deg p = 2$ . Desde $m \mid p$ , $\deg m \leqslant 2$ es decir $k \leqslant 2$ . Entonces, o bien $m(x) =x$ o $m(x)=x^2$ . Por lo tanto, $m(A) = A = O$ o $m(A) = A^2 = O$ . En cualquier caso, $A^2 =O$ .

Answer 4

Todos los valores propios de este nilpotente matriz $A$ son cero.
Por lo tanto, la única forma posible de Jordan $J$ para esta matriz es $J=\begin{bmatrix}0&1 \\0&0\end{bmatrix}$ cuando $A=PJP^{-1}$ .

Ahora calcule $A^2=(PJP^{-1})(PJP^{{-1}})$ .

Answer 5

Sea A $2 \times 2$ matriz tal que $A^n$ =0, para algún n. Entonces claramente la matriz A satisface el polinomio p(x)= $x^n$ . Así que el polinomio característico de A aniquilará a p(x ) por lo que utilizando el algoritmo de división será $x^2$ (ya que un polinomio característico de grado es igual al orden de la matriz ). Así que por el teorema de Cayley Hamilton, la matriz A debe satisfacer el polinomio característico por lo que $A^2=0$ .