Cómo mostrar $2^{ℵ_0} \leq \mathfrak c$

Question

Quiero mostrar a $2^{ℵ_0}=\mathfrak c$.

Yo ya mostraron $\mathfrak c \leq 2^{ℵ_0}$ como sigue:

Cada número real se construye a partir de una parte entera y una fracción decimal. La fracción decimal es contable y ha $ℵ_0$ dígitos. Así tenemos

$\mathfrak c \leq ℵ_0 * 10^{ℵ_0} \leq 2^{ℵ_0} * (2^4)^{ℵ_0} = 2^{ℵ_0}$ desde $ℵ_0 + 4ℵ_0=ℵ_0$

Pero, ¿cómo puedo demostrar que el otro camino de $2^{ℵ_0} \leq \mathfrak c$?

Answer 1

$2^{\aleph_0}$ es la cardinalidad de todos los reales (que pertenecen a $(0,1)$ si lo prefiere) que puede escribir utilizando solo $0,1$ . Esos números forman claramente un subconjunto de $\mathbb R$ que, por lo tanto, debe tener una cardinalidad de al menos $2^{\aleph_0}$ .

Answer 2

Puede definir una función $F$ a partir del conjunto $\{ (x_n) | n\in \mathbb{N}, x_n\in \{ 0,1\} \}$ a $\mathbb {R}$ tal que $$F[(x_1,x_2,x_3,\ldots )]=0\ .\ x_1x_2x_3\ldots $ $
Entonces esta función es inyectiva. Entonces $$ \ text {Cardinal} \ {(x_n) | n \ in \ mathbb {N}, x_n \ in \ {0,1 \} \} \ leq \ text {Cardinal} (\ mathbb {R})$$ So $ 2 ^ {ℵ_0} \ leq \ mathfrak c $ .