Encontrar la función $f$ dado $f(x+1) - f(x) = \frac{1}{x^2}$

Question

Necesito encontrar la expresión de la función <span class="math-container">$f$</span>, todo lo que sabemos acerca de <span class="math-container">$f$</span> :

<span class="math-container">$\begin{cases} \forall x>0, f(x+1)-f(x) = \frac{1}{x^2} \ f \text{ is continuous on } ]0, +\infty[ \text{ and } \lim\limits_{x \to +\infty} f(x) = 0 \end{casos} $</span>

Cualquier ayuda sería apreciada.

Answer 1

Desde $f(t)\to 0$ como $t\to \infty$, vemos que $$\sum_{n=0}^\infty\,\frac{1}{(x+n)^2}=\sum_{n=0}^\infty\,\big(f(x+n+1)-f(x)\big)=-f(x)\,.$$ Esto demuestra que la función deseada $f:\mathbb{R}_{>0}\to\mathbb{R}$ debe satisfacer $$f(x)=-\sum_{n=0}^\infty\,\frac{1}{(x+n)^2}\tag{*}$$ para todos los $x>0$. El resto en la parte oculta es la justificación que $f$ dada por (*) satisface el requisito de continuidad, así como el requisito del límite.

Tenga en cuenta que la función dada por (*) está bien definido desde el infinito suma converge por la prueba de comparación con la serie $\sum\limits_{n=1}^\infty\,\dfrac{1}{n^2}=\dfrac{\pi^2}{6}$. La continuidad de $f$ dada en (*) se sigue de la observación de que la secuencia de $\left\{f_k\right\}_{k\in\mathbb{Z}_{>0}}$ funciones $f_k:\mathbb{R}_{>0}\to\mathbb{R}$ definido por $$f_k(x):=-\sum_{n=0}^k\,\frac{1}{(x+n)^2}\text{ for all }k\in\mathbb{Z}_{\geq 0}\text{ and }x>0$$ uniformly converges to $f$. Clearly, we also have $$0>f(x)>-\frac{1}{x^2}-\sum_{n=1}^\infty\,\frac{1}{(x+n)(x+n-1)}=-\frac{1}{x^2}-\frac{1}{x}\,.$$ Ergo, $f$ , de hecho satisface el requisito del límite.

Answer 2

Pido disculpas por la siguiente, pero no podía unsee :

Desde $f(x+1) - f(x) = 1/x^2$ e $f$ se define más de $\mathbb R^+$, a continuación, $x>0$ y esto significa que $x+1 > x$ y también se $1/x^2 >0$. Por lo tanto $f(x+1) - f(x) > 0 \Leftrightarrow f(x+1) > f(x)$ y desde que se tiene para cada $x \in \mathbb R^+$, a continuación, $f$ está aumentando y también a$f$ es acotado, ya que $\lim_{x \to + \infty} f(x) = 0$.

Ahora, considere la posibilidad de un operador $T$ tal que $Tf(x) = f(x+1)$ define como $T : C^b(0,+\infty) \to C^b(0,+\infty)$ donde $C^b(0,+\infty)$ es el espacio de el continuo delimitado funciones en $(0,+\infty)$. En este espacio el sup norma está bien definido y este espacio es completo (básicamente desde el límite uniforme de funciones continuas es continua). Esto nos dice que $C^b(0,+\infty)$ es un espacio de Banach.

Ahora, vamos a $f,g \in C^b(0,+\infty)$ e $\lambda \in \mathbb R$. Entonces :

$$T(\lambda f + g) = (\lambda f + g)(x+1) = (\lambda f)(x+1) + g(x+1)$$

$$=$$ $$ \lambda f(x+1) + g(x+1) = \lambda Tf + Tg$$

Esto nos dice que el operador $T$ es lineal.

Ahora, también es

$$\|Tf(x)\|_\infty = \|f(x+1)\|_\infty \leq \|f(x)\|_\infty$$

y por lo tanto $T$ es un delimitada lineal operador (específicamente con $\|T\| \leq 1$) así como de $T \in B(C^b(0,+\infty))$.

Pero, puesto que el $C^b(0,+\infty)$ es de Banach y $T \in B(C^b(0,+\infty))$, la ecuación

$$f(x) = \frac{1}{x^2} + Tf(x) \Leftrightarrow f(x) - Tf(x) = \frac{1}{x^2}$$

tiene una única solución en $C^b(0,+\infty)$.

Por la semejanza con la respuesta publicada anteriormente, aviso que

$$f(x) - Tf(x) = -\frac{1}{x^2} \Leftrightarrow (\mathbf{1} - T)f(x) = -\frac{1}{x^2} \Rightarrow f(x) = (\mathbf{1}-T)^{-1}\bigg(-\frac{1}{x^2}\bigg) $$

donde $\mathbf{1}$ es el operador identidad. Pero :

$$(\mathbf{1}-T)^{-1} = \sum_{n=1}^\infty T^n, \quad |T| < 1$$

Nota : Hemos definido $\frac{1}{x^2} : \mathbb R^+ \to \mathbb R$.

Nota 2: Por comentario de la discusión, si dudas/cuestiones relativas a los límites, el espacio de $C^b([\varepsilon, + \infty))$ podría ser considerado donde $\varepsilon >0$ y mediante la manipulación de $\varepsilon$ en consecuencia podemos producir todos los resultados.