Si tengo una simétrica y definida positiva $n\times n$ matriz $Q$ y un rango completo de filas totalmente unimodular $m\times n$ , donde $m<n$ , matriz $A$ ¿es posible demostrar que la matriz $$Q-A^T(AQ^{-1}A^T)^{-1}A$$ ¿también es positiva definida?
He demostrado que es cierto cuando la matriz $Q$ tiene dimensión $2\times 2$ haciendo todas las situaciones posibles. Además, si $m=n$ Tengo que la matriz $Q-A^T(AQ^{-1}A^T)^{-1}A$ puede ser cero.
La matriz $Q - A^T(AQ^{-1}A^T)^{-1}A$ será generalmente semidefinida positiva. Sea
$$M/Q : = Q - A^T(AQ^{-1}A^T)^{-1}A$$
y observe que $M/Q$ es el complemento inferior de Schur de la matriz de bloques
$$ M= \begin{bmatrix} AQ^{-1}A^T & A \\ A^T & Q\\ \end{bmatrix}. $$
Desde $Q$ es positiva definida, se deduce que $Q^{-1}$ es positiva definida y que $Q^{1/2}$ existe. Además $(Q^{-1})^{1/2}$ existe, por lo tanto dejemos que $Q^{-1/2} := (Q^{-1})^{1/2}.$ Tenga en cuenta que
$$ \begin{bmatrix} AQ^{-1}A^T & A \\ A^T & Q\\ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} AQ^{-1/2} \\ Q^{1/2}\\ \end{bmatrix} \begin{bmatrix} Q^{-1/2}A^T & Q^{1/2} \\ \end{bmatrix}. $$
Por lo tanto, $M$ es semidefinido positivo. Como $M$ es semidefinido positivo, también lo es su complemento inferior de Schur.
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