Deje que$f$ sea integrable en$[a,b]$ y suponga que para cada función integrable$g$ definido en$[a,b]$,$\int^{b}_afg=0$, luego$f(x)=0,\forall x\in[a,b]$

Question

No creo que esto es cierto,

pero al mismo tiempo no estoy seguro.

Sé que si suponemos que f es continuo en vez de integrable entonces esta afirmación es cierta. Simplemente no sé cómo proporcionar un contraejemplo si es false para mostrar que esto está mal. Integrable no implica continuidad sé mucho.

Answer 1

Aquí es un contraejemplo uso de Lebesgue de integración.

Deje $f=\chi_{\Bbb Q\cap [a,b]}$. A continuación, $f$ es $0$ a.e. , por lo tanto Lebesgue integrable. Siguiente para cualquier Lebesgue integrable $g$ tenemos $fg=0$ a.e. de modo que $fg$ es Lebesgue integrable y $\int_a^b fg=0$ . Pero $f$ no es idénticamente cero en $[a,b]$.

Answer 2

La conclusión debe <span class="math-container">$f(x)=0$</span> casi en todas partes. Para probar, conjunto de <span class="math-container">$g$</span> es igual al signo de <span class="math-container">$f$</span> <span class="math-container">$f$</span>, que es integrable y <span class="math-container">$fg=|f|$</span>. Entonces obtendrá que <span class="math-container">$\int|f(x)|dx=0$</span>, lo que implica que <span class="math-container">$f=0$</span> casi en todas partes.

Answer 3

Bueno como esto es cierto para cada función integrable g, tome $g=f$

Ahora esto se convierte en $\int^{b}_aff=0$

Ahora sabemos que $f^2(x)\geq0$

y $\int^{b}_af^2(x)=0$, Esto significa que el área de la curva es cero, incluso si la función está siempre por encima del eje x, sólo una de las conclusiones que se pueden derivar de este, que es

$f^2(x) \equiv 0$ $\forall$ x $\in$ $(a,b)$

La función se vuelve idéntica a cero.

por lo tanto, $f(x)=0,\forall x\in[a,b]$

EDIT: Si es que dado que f(x) y g(x) funciones continuas, entonces este enfoque de trabajo, ya que no existe tal condición en esta pregunta, por lo tanto la afirmación es falsa.

Answer 4

Otro ejemplo contrario es que considere la posibilidad de $f:[0,1]\rightarrow [0,1]$ dado por $f(x)=0$ si $x$ es irracional o $x=0$ e $f(\frac{p}{q})=\frac{1}{q}$ donde $p\in \Bbb Z-\{0\},q\in \Bbb N,gcd(p,q)=1$ , a continuación, $f$ es Riemann integrable y $\int_0^1 f=0$ , y para cualquier otro Riemann integrable $g$ tenemos el uso de Cauchy-Schwarz desigualdad $$|\int_0^1 fg|^2\leq\int_0^1 f^2 ×\int_0^1 g^2\leq \int _0^1 f×\int_0^1 g^2=0×\int_0^1 g^2=0$$ ,hence $\int_0^1 fg=0$ . But $f$ is not identically zero in $[0,1]$.

Aunque he utilizado $[0,1]$ como un intervalo especial , por el tobogán las modificaciones que se pueden dar argumento general intervalo compacto.Nota: una cosa es que sólo he considerar la integración de Riemann es decir, aquí no hay integración de Lebesgue. Usted puede probar usando sólo la definición de Riemann de integración que $\int_0^1 f=0$