La relatividad numérica comenzó a mediados de la década de 1960 y tuvo un gran avance en 2005. El observatorio de ondas gravitacionales LIGO había empezado a recoger datos en 2002, por lo que había un fuerte impulso para poder cotejar las simulaciones teóricas de agujeros negros en fusión con las observaciones. Esto dio sus frutos en 2016, cuando LIGO realizó su primera detección.
Las ecuaciones de Einstein son diez ecuaciones diferenciales parciales de segundo orden, no lineales y acopladas en cuatro dimensiones... ¡un formidable desafío computacional!
El primer problema eran las limitaciones de hardware. En 1995, los físicos ni siquiera podían resolver numéricamente las ecuaciones de la simple métrica de Schwarzschild, conocida analíticamente y con simetría esférica, debido a las complicaciones de tratar la singularidad. Los superordenadores de la época no tenían suficiente memoria ni potencia de cálculo para realizar cálculos precisos de los espacios-tiempo en 3D.
En una situación sin ninguna simetría espacial, el número de puntos de cuadrícula 3D en las ecuaciones discretizadas es enorme si se quiere tener una resolución decente. Pero en pocos años se avanzó en las colisiones frontales de agujeros negros, aprovechando la simetría cilíndrica. Finalmente, el hardware llegó a un punto en el que dejó de ser el cuello de botella, incluso en situaciones en las que no se podía explotar la simetría. Pero hubo que superar una larga serie de otros retos computacionales.
La primera fue formular las ecuaciones de manera que se convirtieran en un problema inicial de valores límite bien planteado y con una estabilidad numérica satisfactoria. El formalismo "3+1" de Arnowitt-Deser-Misner (ADM) existía desde 1959. Se trata de una aproximación hamiltoniana en la que el espaciotiempo se folia en rebanadas tridimensionales similares, cada una con su propia métrica tridimensional interna y su curvatura extrínseca, que evolucionan en el tiempo. Reduce las ecuaciones de Einstein a doce ecuaciones de evolución acopladas de primer orden en el tiempo (seis para la métrica 3, seis para la curvatura extrínseca), más cuatro ecuaciones de restricción. Este formalismo era adecuado para hacer evolucionar numéricamente una porción inicial de espaciotiempo hacia adelante en el tiempo, pero evitar la acumulación de errores numéricos era problemático porque las ecuaciones eran sólo "débilmente hiperbólicas".
El formalismo Baumgarte-Shapiro-Shibata-Nakamura (BSSN), desarrollado entre 1987 y 1999, superó este problema reformulando las ecuaciones ADM para hacerlas "fuertemente hiperbólicas", condición que permite una estabilidad numérica mucho mayor.
A continuación, dado que la relatividad general es una teoría gauge, otro de los retos era la cuestión de cuál de los distintos gauges posibles era el mejor para realizar los cálculos. Resultó ser muy difícil encontrar condiciones de calibre que garantizaran evoluciones numéricamente estables, pero finalmente una familia de calibres llamada calibre armónico generalizado (GHG) resultó adecuada.
La cuestión de formular los datos adecuados para las condiciones iniciales era difícil. Los datos iniciales no sólo debían ser físicamente correctos -por ejemplo, para describir dos agujeros negros en órbita, cada uno con espín-, sino que también debían satisfacer las cuatro ecuaciones de restricción.
El tratamiento de las condiciones espaciales de contorno en el infinito fue otro obstáculo. Lejos de los dos agujeros negros, el espacio-tiempo debe adoptar la forma de radiación gravitatoria saliente. La solución numérica debe garantizar que no haya radiación gravitacional que llegue desde el infinito.
El refinamiento de la malla resultó ser necesario para manejar las distintas escalas de distancia que tienen los agujeros negros, desde su horizonte hasta la zona de ondas. Y este refinamiento de la malla tenía que implementarse de forma que pudiera paralelizarse en múltiples procesadores.
La extracción de resultados físicos, como las formas de las ondas gravitacionales, de manera invariante a partir de la simulación numérica no fue trivial.
Tratar la singularidad de cada agujero, y del agujero fusionado, era un problema importante. Se desarrollaron dos técnicas diferentes. En la técnica de "escisión", propuesta a finales de los años 90, una región alrededor de la singularidad, pero dentro del horizonte, simplemente no evoluciona, ya que nada de lo que ocurre dentro del agujero puede afectar al exterior.
La segunda técnica, denominada "método de la punción", dividía la solución en una parte analítica que contenía la singularidad, y una parte construida numéricamente que estaba libre de singularidades. Pero al principio, la punción que contenía la singularidad se mantenía en coordenadas fijas incluso cuando los agujeros se movían, lo que hacía que el sistema de coordenadas se estirara y deformara hasta el punto de que surgían inestabilidades numéricas.
El avance de 2005 fue permitir que los pinchazos se movieran por el sistema de coordenadas para controlar las inestabilidades numéricas. A partir de ese momento, se pudieron simular con precisión los tiempos espaciales de los agujeros negros en fusión.
Cuarenta años de duro trabajo han hecho madurar el campo de la relatividad numérica.
Este post se basa en dos fuentes: "Relatividad numérica" ( https://en.wikipedia.org/wiki/Numerical_relativity ) y "El avance de la relatividad numérica para los agujeros negros binarios" ( https://arxiv.org/abs/1411.3997 ).
