Cuando

Question

Deje $A,B$ ser $n\times n$ matrices. Si $AB=BA$, a continuación, $\operatorname{rank}(A^2)+\operatorname{rank}(B^2)\geq2\operatorname{rank}(AB)$.

Es en este rango de desigualdad correcta? No contraejemplo parece existir. Aquí está lo que he hecho. Cuando $A$ es un bloque de Jordan esto es fácil de demostrar. Yo traté de traer $A$ en Jordania formulario para $n=2,3,4$ y encontrado ningún contraejemplo. Por lo que actualmente pienso que es cierto. Mediante el Ajuste del lema basta considerar el caso en que $A$ es nilpotent. Podemos traer a $A$ a Jordan en la forma. A continuación, los bloques en $B$ se triangular superior. Sin embargo, incluso en este caso, $\operatorname{rank}(B^2)$ no es manejable.

Todas las sugerencias serán apreciados!

Answer 1

Bueno, resulta que cometí un error al tratar de construir ejemplos de contras ... Hay un contraejemplo del pedido $4$ : $$A=\begin{pmatrix}0&1&0&0\\0&0&0&0\\0&0&0&1\\0&0&0&0\end{pmatrix},\quad B=\begin{pmatrix}0&1&1&0\\0&0&0&1\\0&0&0&1\\0&0&0&0\end{pmatrix}.$ $ Lo siento por engañar. :(