¿Puede una función tener dos derivadas?

Question

Soy un senior en la escuela secundaria, así que yo sé que yo soy un simple malentendido algo pero no sé de qué, por favor tenga paciencia.

Yo tenía la tarea de encontrar la derivada de la siguiente función:

$$ y = \frac{ (4x)^{1/5} }{5} + { \left( \frac{1}{x^3} \right) } ^ {1/4} $$

Simplificando:

$$ y = \frac{ 4^{1/5} }{5} x^{1/5} + { \frac{1 ^ {1/4}}{x ^ {3/4}} } $$

$$ y = \frac{ 4^{1/5} }{5} x^{1/5} + { \frac{\pm 1}{x ^ {3/4}} } $$

Debido a $ 1 ^ {1/n} = \pm 1 $, dado $n$ es incluso

$$ y = \frac{ 4^{1/5} }{5} x^{1/5} \pm { x ^ {-3/4} } $$

Tomando la derivada usando el poder de la regla:

$$ \frac{dy}{dx} = \frac{ 4^{1/5} }{25} x^{-4/5} \pm \frac{-3}{4} { x ^ {-7/4} } $$

que es el mismo que

$$ \frac{dy}{dx} = \frac{ 4^{1/5} }{25} x^{-4/5} \pm \frac{3}{4} { x ^ {-7/4} } $$

Y esa es la parte que me resulta difícil de comprender. Sé que debería ser la adición del segundo término de(I graficar varias veces para asegurarse de que), pero no puedo coger mi error y mi maestro realmente no quería hablar de ello.

Así que sé que estoy haciendo algo mal, porque una función puede tener más de un derivado.

Answer 1

El $(\cdot)^{\frac{1}{4}}$ operación ha de ser entendida como una función. Una función sólo puede tener una imagen para cualquier argumento. Dependiendo de cómo interpretar la raíz cuarta, la imagen puede ser positivo o negativo. Pero una vez cómo interpretar su función (positivo o negativo valorado), usted tiene que seguir con esa interpretación de todo.

Cuando usted escribe $y = \frac{ 4^{1/5} }{5} x^{1/5} \pm { \frac{1}{x ^ {3/4}} }$, se trabaja con ambas interpretaciones simultáneamente. En otras palabras, cuando usted diferenciar, usted no consigue dos de los derivados de una función, en lugar de dos derivados que corresponden a dos funciones diferentes, una $y = \frac{ 4^{1/5} }{5} x^{1/5} + { \frac{1}{x ^ {3/4}} }$, y el otro, $y = \frac{ 4^{1/5} }{5} x^{1/5} - { \frac{1}{x ^ {3/4}} }$.

Answer 2

Usted está confundido acerca de lo $y^{1/4}$ significa en realidad.

Supongamos que $x^4=1$. Podríamos elevar ambos lados de la $1/4$ poder: $$\left(x^4\right)^{1/4}=1^{1/4}$$

El lado derecho es inequívocamente $1$. No es $\pm1$. Pero sigue leyendo. $$\left(x^4\right)^{1/4}=1$$ The left side does not simplify to $x$ unless you somehow know ahead of time that $x$ is positive. Otherwise, all you can say is the left side simplifies to $\lvert x\rvert$. So you have $$\lvert x\rvert = 1$$ That implies that "either $x=1$ or $x=-1$". Out of laziness (or a minor efficiency boost) people write $x=\pm1$.

Ahora empezamos con $x^4=1$ y terminó con $x=\pm1$. Y a causa de esto y la aplicación de la $1/4$ poder en el medio de ese proceso, se han deducido que $1^{1/4}=\pm1$. Pero eso es una mala interpretación del proceso en su totalidad. $1^{1/4}$ es claramente igual a $1$ cuando se trabaja con aritmética de los números reales.

Answer 3

Tienes toda la razón a esta pregunta. Esto es lo que un buen matemático.

El ejercicio no define la función correctamente. Para una correcta definición debería haber mencionado el conjunto se define la función y el conjunto de imágenes. Algo así como: $f$ se define como la asignación de $f:\mathbb{R_+} \to \mathbb{R_+}$ con $f(x) =\ldots$.

Esto habría descartado la $-1$ interpretación (dejando $x$ ir a cero luego sería contradecir la definición de la función).

Answer 4

Tu error está en la declaración de $1^{1/n}=\pm 1$. Primero que todo esto está mal, dos maneras de ver esto son : $1^{1/n}=\sqrt[n]{1}=1$ o $1^{1/n}=e^{-n\ln{1}}=e^0=1$. Usted puede confundir esto con $(-1)^n=\pm 1$.

En segundo lugar, incluso si $1^{1/n}$ variado con $n$, aquí tiene un valor dado por $n$ que es $n=4$ la cual se determinará si la respuesta es $1$ o $-1$.

Aunque la ecuación de $a^4=1$ hecho tiene dos soluciones reales, $1^{1/4}$ denota la positiva, y eso es lo que está implícito en la fórmula para la diferenciación de funciones de energía que se utiliza, conocido como $\forall r\in \mathbb R^ * \quad \frac{\text{d}x^r}{\text{d}x}=rx^{r-1}$

Answer 5

Cuando usted tiene una raíz, tales como $\sqrt x$ o $x^{\frac14}$, que generalmente se toma para ser el lo que se llama el "director de la raíz". Para números positivos, el director de la raíz es positivo. Por lo $1^{\frac14}$ está a sólo 1. Cuando usted necesita para mantener un seguimiento de las $\pm$ es cuando se aplica una raíz a ambos lados: de una ecuación si $x^2=1$, a continuación, $x=\pm1$. Esto es debido a que la regla de $(x^a)^{\frac1a}=x$ puede fallar si $x$ es negativo.