¿Algún dominio integral (noetheriano) tiene un "cierre de la UFD"?

Question

Deje $R$ ser un (posiblemente noetherian si eso ayuda) conmutativa unital integral de dominio.

¿Existe un UFD $\overline{R}$ tal que $R$ incrusta en $\overline{R}$ (a través de algún mapa de $\psi$) y tal que $\overline{R}$ es universal con esta propiedad (es decir, tal que para cualquier UFD $S$ con una incrustación $\varphi: R\to S$ hay una factorización $\varphi = \rho\psi$ algunos $\rho: \overline{R}\to S$.

Una cosa que parece un requisito natural (y las que no está claro, al menos para mí, va a seguir con la anterior) es que si $x\in R$ es irreducible, entonces $\psi(x)$ no es una unidad.

Esta pregunta surgió mientras hablaba con alguien sobre la "costumbre" la prueba de que $\mathbb{Z}[i\sqrt{2}]$ es un disco flash usb, lo que demuestra que la norma habitual en $\mathbb{C}^2$ hace que el anillo euclidiano de usar que cualquier círculo unidad en $\mathbb{C}^2$ contendrá un elemento del anillo en su interior. Podemos entonces señalar que el argumento, precisamente, no funciona para $\mathbb{Z}[i\sqrt{3}]$, y, de hecho, mirando la forma en que se produce un error le dio una buena idea de cómo encontrar elementos donde la única factorización de no celebrar (el elemento $1+i\sqrt{3}$). Pero también sugirió que si uno iba a agregar $\frac{1+i\sqrt{3}}{2}$ entonces habría añadido el divisor necesario para obtener una unidad flash usb (y, de hecho, $\mathbb{Z}[i\sqrt{3}][\frac{1+i\sqrt{3}}{2}] = \mathbb{Z}[\frac{1+i\sqrt{3}}{2}]$ es un UFD por el mencionado argumento.

Este, a continuación, llevar a la pregunta anterior de si uno puede siempre formalmente añadir divisores de elementos de un no-UFD para obtener una unidad flash usb (en una forma universal, pues de lo contrario uno puede simplemente tomar el campo de las fracciones para obtener una UFD).

Hemos considerado una construcción a lo largo de las líneas de (para cada par de elementos irreductibles $p$ $q$ tal que $\langle p,q\rangle$ no fue todo el anillo), teniendo un coeficiente de $R[k,s,t]/I$ donde $I$ es generado por $ks - p$ $kt - q$ (es decir, añadimos la falta común divisor $k$ $p$ $q$ junto con el complemento de divisores). Pero no parece como generalmente esto podría producir una unidad flash usb, y mucho menos universal.

Answer 1

En general no, no.

Paso 1: UFD cierre es estable en la localización.

Supongamos que $\bar{R}$ es un UFD cierre de $R$. A continuación, para cada primer $p\subseteq R$, $R_p\otimes\bar{R}=\bar{R}_p$ es la UFD cierre de $R_p$. Una localización de una unidad flash usb es un UFD demasiado, solo necesitamos comprobar el universal de la propiedad. De hecho, si tenemos un homomorphism $R_p\to U$, $U$ UFD, obtenemos un único homomorphism $\bar{R}\to U$ gracias a la característica universal de $\bar{R}$, y, por tanto, un único homomorpshism $\bar{R}_p\to U$ gracias a la característica universal del producto tensor.

Paso 2: Un dominio de Dedekind, que no es un PID no tiene flash usb de cierre.

Deje $R$ ser un dominio de Dedekind, que no es un PID, y supongamos que se tiene un UFD cierre de $R\to\bar{R}$. Un dominio de Dedekind es un PID si y sólo si se trata de una unidad flash usb, por lo tanto $R\neq\bar{R}$. Para cada prime $p$$R$, la localización de morfismos $R_p\to\bar{R}_p$ es todavía un UFD cierre gracias al paso 1. Pero $R_p$ es un PID, y, por tanto, una unidad flash usb, por lo $R_p\to\bar{R}_p$ es un isomorfismo para cada $p$. Esto implica que $R\to\bar{R}$ es un isomorfismo demasiado, absurdo.

Lo que es cierto es que tiene un universal normal de cierre, es decir, a una normalización. Si la normalización es también una unidad flash usb (por ejemplo, $k[t^2,t^3]\subset k[t]$), luego de la normalización es también, en particular, una unidad flash usb de cierre.

Edición he añadido la respuesta a la pregunta: cuando $R$ tiene un UFD cierre de $\psi:R\to\bar{R}$, es cierto que $\psi(x)$ no es invertible para cada irreductible $x$?

Sí, es cierto. De hecho, más en general, el siguiente siempre es cierto: si $x$ es no invertible elemento de un noetherian dominio $R$, existe una UFD $U$ y un morfismos $R\to U$ de manera tal que la imagen de $x$ es no invertible. Cuando esto resultó ser cierto, la característica universal de la UFD cierre inmediatamente las respuestas a su pregunta.

Paso 1: Podemos suponer $R$ normal. De hecho, si $f:R\to R'$ es la normalización de $R$, $R'$ es parte integral de la $R$, y, por tanto, $f(x)$ no es invertible (por ejemplo, puede tomar un primer $p\subset R$ contiene $x$ y tire de él hacia un prime en $R'$ contiene $f(x)$).

Paso 2: Podemos suponer $R$ locales de dimensión uno. De hecho, vamos a $p$ ser de un mínimo de primer contengan $x$: gracias a Krull director de ideal teorema tiene la altura de uno. Pero entonces, la imagen de $x$ $R_p$ a no es invertible, y $R_p$ es local de dimensión uno.

Paso 3: Una normal, locales de dominio de dimensión uno es una unidad flash usb, por lo que concluimos.