Me han dicho que los números racionales del cero al uno forman un infinito contable, mientras que los irracionales forman un infinito incontable, que es en cierto sentido "más grande". ¿Pero cómo puede ser eso? Siempre hay un racional entre dos irracionales, y siempre hay un irracional entre dos racionales, así que parece que debería estar repartido de forma bastante equitativa.
Creo que la explicación más intuitiva que he escuchado es considerar la escritura de un número racional en forma decimal. Esto significa que, o bien es un decimal que se repite, o bien es un decimal que termina, por ejemplo $2.3737\overline{37}$ o $0.42$ que escribiremos como $0.4200\bar{0}$ . Ahora, considera la probabilidad de escribir un número al azar. Así que tienes diez opciones cada vez que vas a anotar un dígito. ¿Qué probabilidad hay de que "casualmente" obtengas un decimal repetido o un decimal en el que sólo haya ceros a partir de cierto punto? Muy improbable. Pues bien, esos casos improbables son los números racionales y los "probables" son los irracionales.
Qué excelente manera de pensar en ello. ¡Incluso se puede demostrar que la probabilidad de "rodar" un número racional es cero bajo el requisito de un número infinito de dígitos!
Sin embargo, ¿cuál es la probabilidad de que, dado un número racional, sólo tenga $0$ después de . ? En cualquier rango $[n, n + 1)$ tienes 1 entero e infinitos números racionales. Por lo tanto, parece que hay más irracionales que racionales, pero hay una biyección.
Siempre hay un racional entre dos irracionales, y siempre un irracional entre dos racionales, por lo que parece que debería repartirse bastante.
Eso sería cierto si siempre hubiera exactamente uno racional entre dos irracionales, y exactamente uno irracional entre dos racionales, pero obviamente no es el caso.
De hecho, hay más irracionales entre dos racionales (diferentes) que hay racionales entre dos irracionales cualesquiera -- aunque ninguno de los dos conjuntos puede estar vacío uno sigue siendo siempre mayor que el otro.
Y sí, esto es cada vez menos intuitivo cuanto más se piensa en ello, pero parece ser la única forma razonable de que las matemáticas encajen.
No lo haría hay exactamente un irracional entre dos racionales ¿es imposible? Si $q_1<q_2<q_3$ eran racionales, y $r_1,r_2$ fueran irracionales de tal manera que $q_1<r_1<q_2<r_2<q_3$ entonces tendríamos dos irracionales entre $q_1$ y $q_3$ .
Quería decir que se podría formular esto como siempre hay exactamente una $y\in I$ entre cualquier punto adyacente en $Q.$ Eso es algo que al menos podría ser posible para algunos conjuntos $Q$ y $R$ .
La redacción de la pregunta, "parece que debería repartirse de forma bastante equitativa", es bastante apropiada. Creo que la lección que hay que aprender aquí es que, a veces, cuando nuestra intuición dice que algo "parece" que debería ser cierto, un análisis más cuidadoso muestra que la intuición estaba equivocada. Esto ocurre con bastante frecuencia en las matemáticas, por ejemplo, las curvas de llenado del espacio, las paradojas de las votaciones cíclicas y la concentración de medidas en altas dimensiones. También ocurre en otras situaciones, por ejemplo [sáltese el siguiente párrafo si sólo quiere matemáticas]:
He visto un vídeo de una jugada en un partido de fútbol (americano) en la que un jugador, llevando el balón hacia delante, lo lanza hacia atrás, por encima del hombro, a un compañero que corre detrás de él. El árbitro dictaminó que se trataba de un pase hacia delante. La intuición dice que lanzar el balón hacia atrás por encima del hombro no es "hacia adelante". Pero de hecho, como muestra el vídeo, el compañero de equipo cogió el balón en un lugar más adelantado que donde el primer jugador lo lanzó. Si estás corriendo hacia adelante con velocidad $v$ y lanzas la pelota "hacia atrás" (respecto a ti mismo) con velocidad $w<v$ entonces el balón sigue avanzando (respecto al suelo) con velocidad $w-v$ . Así que el árbitro tenía mucha razón.
En mi opinión, la posibilidad de contradecir la intuición es una de las grandes ventajas del razonamiento matemático. Las matemáticas no se limitan a confirmar lo que sabemos de forma natural, sino que a veces corrigen lo que creemos saber.
La intuición es algo maravilloso. Es rápida y suele dar buenos resultados, por lo que es muy valiosa cuando no tenemos tiempo o energía o capacidad para un análisis más reflexivo. Pero debemos tener en cuenta que la intuición no es infalible y que una reflexión más detenida puede aportar nuevas ideas y correcciones.
Creo que la clave es lo que Henning mencionó Es decir,
Hay más irracionales entre dos racionales diferentes que racionales entre dos irracionales.
Sin embargo, para ganar algo más de intuición imagina la expansión binaria de un número racional e irracional, por ejemplo
\begin{align} r_1 &= 0.00110100010\overline{0010101010} \\ i_1 &= 0.001101000100010101010 ??? \\ r_2 &= 0.00110100010\overline{0011111010} \\ i_2 &= 0.001101000100110101010 ??? \end{align}
La expansión de los racionales es periódica, por lo que todo racional puede ser especificado con una cantidad finita de información (bits). Puedes hacerlo tan largo como quieras, pero seguirá siendo finito. Sin embargo, aunque algunos irracionales pueden especificarse con una cantidad finita de información (por ejemplo $0.101001000100001000001\ldots$ ), hay infinitamente más de los que llevan una cantidad infinita de información (hay infinitamente más de esos incluso entre dos racionales cualesquiera). No podemos especificarlos $^\dagger$ (¿cómo lo haríamos?), pero sabemos que existen y exactamente esos números indeterminables hacen que haya más irracionales que racionales.
Espero que esto ayude $\ddot\smile$
$^\dagger$ Aquí estoy asumiendo que estamos usando un lenguaje con un número finito o incluso contable de símbolos. Por otro lado, por ejemplo, si tratáramos medidas físicas como "la longitud de este palo" o "la velocidad de ese pájaro" como especificaciones, y dado que nuestro mundo es continuo en lugar de discreto, entonces, casi con seguridad, cualquier definición de este tipo sería de número irracional.
Ver El argumento diagonal de Cantor . Hay infinitas más reales entre cada "punto de red" de un racional. Esta es la base para tener múltiples niveles de infinito.
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Tal vez quiera leer esta pregunta , que esencialmente pregunta lo mismo que tú, pero es un poco más específico: Cuando se habla de conjuntos infinitos, si decimos que dos conjuntos tienen el mismo tamaño, lo que queremos decir es una afirmación precisa, a saber, que hay una biyección entre los dos conjuntos. La pregunta que he enlazado sugiere una forma errónea de construir dicha biyección (basada en la misma idea intuitiva que describes de que entre dos irracionales siempre hay un racional, y entre dos racionales siempre hay un irracional).
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Esta podría ser una de esas veces que se hizo para el comentario de John von Neumann de que en matemáticas no se entienden las cosas. Simplemente te acostumbras a ellas.
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Tengo fe en que, en matemáticas, si no entiendes las cosas, es que aún no has encontrado la forma correcta de pensar en ellas.
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La prueba de la diagonal de Cantor es bastante fácil de seguir y muestra que hay incontables números reales. Sólo hay un número contable de números racionales, así que obviamente debe haber un número incontable de números irracionales. Observas correctamente que los racionales son un subconjunto "denso" de la línea de números reales, pero siguen siendo un conjunto contable.
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... llamamos a la lista infinita de listas infinitas más grande porque cualquiera de sus elementos es lo suficientemente "grande" como para ponerse en relación 1:1 con una lista infinita como los enteros; y después de eso, a la lista infinita de listas infinitas le sobran infinidad de listas extra. Por ejemplo, la expansión decimal de un solo número real tiene suficientes dígitos, de manera que cada dígito puede ponerse en relación 1:1 con el conjunto de los enteros. Así que cada número real contiene todos los enteros, en cierto sentido.
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¿No debería ir esto como una pregunta suave/lista grande (de "explicaciones con poder intuitivo para <afirmación>")
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@Kaz, Puedes recorrer fácilmente una lista infinita de listas infinitas. Toma el primer elemento de la primera lista, luego el segundo elemento de la primera lista, luego el primer elemento de la segunda, luego el tercero de la primera, el segundo de la segunda y el primero de la tercera, y así sucesivamente. Una imagen aclararía esto, pero no puedo poner imágenes en los comentarios. La cuestión es que pensar en listas infinitas de listas infinitas parece plausible pero es engañoso. También sugeriría que el concepto de infinitos de diferentes tamaños está bastante bien establecido, y no es algo en lo que se pueda decidir no creer.