¿Cuando es un subconjunto de $\ell^2$ compacto?

Question

He estado buscando en internet por horas ahora e incluso preguntar en el chat sin una respuesta. ¿Cuando es un conjunto de $M\subseteq\ell^2$ compacto? $L^p$, Se trata el teorema de Arzelà-Ascoli que proporciona una herramienta útil, pero no sé cómo se puede transferir a $\ell^2$? ¿Hay cualquier teoremas similares?

Answer 1

Existe la siguiente caracterización:

$S\subset \ell^2$ es compacto si y sólo las siguientes condiciones son satisface:

• $S$ está cerrado;
• $S$ está delimitado, es decir, $\sup{x\in S}\lVert x\rVert{\ell^2}
• tenemos $\lim{N\to +\infty}\sup{x\in S}\sum_{k=N}^{+\infty}|x_k|^2=0$.