¿Cuál es el contenido energético real del Sol?

Question

Además de la energía liberada por la fusión nuclear en el núcleo, el Sol es un plasma caliente de hidrógeno y helio que oscila entre miles y millones de grados. ¿Cómo se traduce esto en energía?

He pensado en una aproximación para averiguar cuánta energía tiene un metro cúbico del núcleo del Sol intentando calcular a cuánto equivaldría el "calor" de este metro cúbico en términos de energía. He utilizado la capacidad calorífica específica del hidrógeno y del helio para ver cuánta energía se necesitaría para elevar la temperatura de un metro cúbico del núcleo del Sol con una densidad de $150\times10^{3}$ $kg/m^3$ a $15\times10^6$ $°K$ y eso es lo que tengo:

$Q$ = $C\times m\times T$

La capacidad calorífica del hidrógeno es de 14 kJ/kg.K, por lo que

$Q$ = $14,000\times150*10^3\times15*10^6$ = $3.15\times10^{16}$ $J$

Uno de los problemas a los que me enfrenté fue determinar la capacidad calorífica específica del hidrógeno a temperaturas más altas. Como he encontrado aquí La capacidad calorífica aumenta con la temperatura. Utilicé el valor a 250 °K, por lo que el número que calculé podría ser el límite inferior del valor correcto.

Ahora bien, ¿era correcta esta aproximación a la capacidad calorífica específica? Si no es así, ¿hay otras formas de expresar la temperatura del Sol en términos de julios y energía?

Answer 1

Así que hace un tiempo hice un pequeño proyecto en el que cogí un "modelo solar estándar" de este documento que me da información útil para hacer una estimación. (Como es lógico, el enlace que se da para descargar los datos ha cambiado en los últimos diez años; no he investigado para ver si los datos siguen estando disponibles públicamente).

1. Sólo alrededor del 1,5% de la masa del sol es algo distinto al hidrógeno y al helio-4. Esto es así desde el núcleo hasta la superficie. Supondremos que el sol sólo contiene hidrógeno y helio-4.

2. Toda la masa del sol, excepto el 0,2% más externo (hasta el 90% del radio del sol) está a una temperatura $kT>54\,\mathrm{eV}$ , que es la energía necesaria para girar $\mathrm{He^+}$ en $\mathrm{He^{2+}}$ . (Esta energía es cuatro veces la energía de Rydberg.) Así que en algún lugar por encima del 99% de la masa del sol está completamente ionizada.

3. La temperatura central $kT\approx 1300\,\mathrm{eV}$ es mucho menor que la masa del electrón, por lo que la materia del núcleo no es relativista.

4. Voy a suponer que los electrones no están degenerados; esta herramienta (vía esta pregunta ) me hace pensar que es una suposición bastante segura para la materia en el núcleo con densidad $\rho \approx 150\,\mathrm{g/cm^3}$ y la temperatura $T \approx 10^7\,\mathrm K$ .

En ese caso podemos tratar el núcleo del sol como una mezcla de tres gases ideales que no interactúan, $\mathrm H^+$ , $\mathrm{He}^{2+}$ y $\mathrm e^-$ . Como dice George Herold, cada partícula de gas ideal tiene una energía cinética media $\frac32 kT$ por lo que querremos las densidades numéricas. La densidad numérica del hidrógeno $n_\mathrm{H}$ es $$ n_\mathrm{H} = \rho f_\mathrm{H}/{\mu_\mathrm{H} } $$ donde $\rho$ es la densidad de masa, $f_\mathrm{H}$ es la fracción de masa de hidrógeno, y $\mu_\mathrm{H} = 1\,\mathrm{gram/mole}$ es la masa atómica del hidrógeno. Se tiene una expresión similar para el helio (con $\mu_\mathrm{He} = 4\,\mathrm{gram/mole}$ ). La densidad del número de electrones, gracias a la ionización completa, es sólo $$ n_\mathrm{e} = n_\mathrm{H} + 2n_\mathrm{He}. $$ Aquí hay una figura que muestra la temperatura, la densidad de masa y la composición de mi fuente anterior y la densidad numérica calculada aquí:

Tenga en cuenta que la escala horizontal (radio) está ponderada por la masa: se encuentra aproximadamente la mitad de la masa del sol entre 0,1 y 0,3 radios solares, por lo que ese intervalo ocupa aproximadamente la mitad del eje horizontal. Esto es puramente una técnica de visualización, para que tu ojo no se distraiga con las capas externas (relativamente) frías y difusas del sol.

Para encontrar el total densidad de energía térmica, tenemos que integrar Encontramos la densidad de energía térmica $$ \epsilon = (n_\mathrm{H} + n_\mathrm{He} + n_\mathrm{e})\frac32 kT $$ y el volumen de una cáscara delgada de radio $r$ es $$ dV = 4\pi r^2 dr $$ Esta integral $\int\epsilon\, dV$ me da una energía cinética total almacenada $E=3.09\times10^{41}\,\mathrm{J}$ de los cuales aproximadamente el 95% está contenido en la mitad del radio del sol.

Ahora bien, si el sol tuviera una densidad uniforme se podría estimar su energía potencial gravitatoria la energía que se liberó cuando todas las piezas cayeron juntas, como $$ U_\text{uniform sphere} = -\frac35 \frac{GM_\text{sphere}^2}{R_\text{sphere}} = - 2.3\times10^{41}\,\mathrm J \text{ (uniformly dense sun)}. $$ Eso está muy cerca de nuestro calor almacenado. Podemos hacerlo un poco mejor, ya que conocemos el perfil de densidad del sol, encontrando la energía potencial liberada a medida que se deposita cada cáscara esférica, $$ U = - \int_0^{M_\text{sun}} \frac{G M_\text{enclosed}(r)}{r} dM = -6.15\times10^{41}\,\mathrm{J}. $$ Esta autoenergía gravitacional es aproximadamente el doble de la energía cinética almacenada --- que un verdadero astrónomo habría predicho como consecuencia de la teorema del virial .

Answer 2

Divertido, ¿Así que estás preguntando por el contenido de energía térmica del sol?

Si suponemos que todo el hidrógeno está disociado (átomos individuales) Entonces cada átomo tiene tres grados de libertad y porta 3/2 kT de energía.
Así que cuente el número de átomos en cada temperatura.... Eso funcionará hasta que los átomos se ionicen. Entonces habrá igual energía en todos los electrones. (uno del H y dos del He) (Te dejaré todos los detalles desordenados :^)

Answer 3

Al final de tu pregunta planteas si hay otras formas de expresar la temperatura del Sol en términos de energía. Probablemente no es exactamente lo que buscas, pero a partir de la ley de Wien $\lambda_{\rm max}T=b$ ( $\lambda_{\rm max}$ es la longitud de onda máxima del Sol $\sim$ espectro del cuerpo negro, $b$ es la constante de desplazamiento de Wien) y $E=\frac{hc}{\lambda}$ La temperatura de la fotosfera del Sol puede ser (y en algunos círculos astronómicos, a menudo lo es) expresada como una energía, en este caso alrededor de $2.4 \;{\rm eV}$ o $4\times10^{-19}\;{\rm J}$ . Por supuesto, se trata de la energía de un fotón, y no codifica el contenido total de energía térmica de ninguna manera, pero sí la temperatura.

Answer 4

El sol es más que una nube de gas caliente que irradia energía. El sol también tiene energía almacenada en el "combustible" hidrógeno que se "quemará" mediante la fusión nuclear en helio, liberando mucha energía.

El sol es $2 \times 10^{30}$ kg, y alrededor del 70% de hidrógeno, por lo que alrededor de $1.4 \times 10^{30}$ kg de hidrógeno o $8 \times 10^{56}$ protones.

Calculemos que todo esto sufrirá una fusión. La reacción dominante es la cadena p-p que toma seis protones (núcleos de hidrógeno) y produce un núcleo de helio-4 y dos protones. Los dos protones de salida pueden pasar a otras reacciones, por lo que la reacción neta es $ 4 \mathrm{p} \rightarrow ^{4}\mathrm{He}$ .

La masa de cuatro protones es $4 \times 1.6726 \times 10^{-27}$ kg = $6.6905 \times 10^{-27}$ kg.

La masa de un núcleo de helio-4 es $6.6447 \times 10^{-27}$ kg.

La diferencia se convierte en energía a través de $E=mc^2$ ¡! Cada reacción produce alrededor de $4 \times 10^{-12}$ J de energía.

La energía total que podrías obtener es entonces $\frac{1}{4} * 8 \times 10^{56} * 4 \times 10^{-12}$ = $8 \times 10^{44}$ J.

Esto es mucho más de lo que se almacena como calor en un momento dado.

Hay algunas advertencias que hacen que esto sea sólo un cálculo aproximado: no todo el hidrógeno se fusionará, y hay otras reacciones que contribuyen. Pero no debería ser tan malo.