Diferencial de un mapa

Question

Tengo el siguiente mapa que incorpora el Torus $T^2$ en $\mathbb{R}^3$ :

$$f(\theta, \phi)=(cos\theta(R+rcos(\phi)),sin\theta(R+rcos(\phi)), rsin\phi)$$

señalando que $0<r<R$ .

Quiero calcular el diferencial de $f$ , $f_*$ que mapea $T_P(T^2)$ a $T_{f(p)}(\mathbb{R}^3)$ .

Este tema me resulta extremadamente confuso. No estoy seguro de cómo enfocar realmente el problema. Creo que si $v\in T_p(T^2)$ Entonces elijo una curva suave $g:\mathbb{R}\to T^2$ s.t. $g(0)=p$ y $g'(0)=v$ entonces $df(p)v=\frac{d}{dt}f(g(t))$ en $t=0$ .

Realmente no sé qué hacer con todo esto. No sé a dónde ir. Si alguien tiene un buen ejemplo o una buena fuente para mirar que ayude a explicar este problema, o si alguien puede ayudarme con este problema que sería muy apreciado. Gracias de antemano.

Answer 1

El diferencial del mapa viene dado por el Jacobiano . Básicamente lo que quieres hacer es tomar todas las derivadas parciales de las funciones de coordenadas y ensamblarlas en una matriz. Como has dicho esta matriz debe ser una transformación de $T_p(T^2) \to T_{f(p)}(\mathbb{R}^3)$ por lo que queremos un $3 \times 2$ matriz. La matriz se verá así: $\begin{bmatrix} \frac{\partial\theta}{\partial x} & \frac{\partial\phi}{\partial x} \\ \frac{\partial\theta}{\partial y} & \frac{\partial\phi}{\partial y}\\ \frac{\partial\theta}{\partial x} & \frac{\partial\phi}{\partial x} \end{bmatrix}$ . Por ejemplo $\frac{\partial\theta}{\partial x} = -sin(R+rcos())$ Si desea conocer el diferencial en un punto concreto del toro, sólo tiene que introducir el $(\theta, \phi)$ coordenadas.