Descripción explícita de un groupoid libre monoidal trenzada con inversas

Question

Sea G ser un trenzado monoidal groupoid: no le hace ningún daño a suponer que la monoidal producto en G es estrictamente asociativa, por lo que voy a hacer.

"Con la recíproca" significa que por cada objeto $X$ de G, existe un objeto $Y$ y un isomorfismo $X\otimes Y\approx 1$ en G, donde a $1$ es el objeto de la unidad.

Me gustaría suponer sin pérdida de generalidad, que la recíproca existe "en la nariz", de modo que para cada objeto $X$, no es un objeto $X^{-1}$ tal que $X\otimes X^{-1} = 1$. Es decir, los objetos de G forman un grupo.

Primera pregunta: ¿puedo hacer esto?

Ahora puedo conseguir un 2-categoría de BG por "delooping" G (utilizando la estructura monoidal), por lo que BG tiene un solo objeto *, y la categoría de los morfismos BG(*,*) es exactamente G. Este es un 2-groupoid con un objeto, y lleva algún tipo de adicional de la estructura de codificación de la trenzado.

Conectado 2-groupoid es exactamente la misma cosa como un cruzado módulo, el cual se compone de los datos de $(H,F, d: H\to F, \phi: F\to \mathrm{Aut}(H))$ donde $H$ $F$ son grupos e $d$ $\phi$ son homomorphisms. En términos de G, F es el conjunto de objetos de la G, mientras que H es el conjunto de 1-morfismos en G con la unidad de objeto de dominio.

Segunda pregunta: ¿qué extra estructura hago para poner en el contenedor módulo para codificar el trenzado?

Quiero entender tal G que son libres en algún conjunto S de los objetos. En la traducción se cruzó de los módulos, el grupo F, se tiene que ser el grupo libre en S.

Tercera pregunta: ¿cómo se puede describir el grupo H en este cruzó el módulo? (Que es lo que quiero decir por "explícito".)

Hay una amplia literatura sobre los trenzado monoidal categorías, así que apuesto a que alguien ha pensado en esto.

(Ah, y puedo deloop una vez más para obtener una débil 3-groupoid B²G, y esta cosa se modelo un homotopy 3-tipo de X. Si G es libre, X es una cuña de 2-esferas. Debido a esto, sé que las cosas como la imagen y el núcleo de $d: H\to F$. Pero, ¿qué es $H$ sí?)

Answer 1

Creo que la respuesta a la primera pregunta es sí. Deje $C$ ser una categoría monoidal cuya monoid de clases de isomorfismo es un grupo, de modo que cada objeto tiene una inversa. Para cada objeto $X$ elegir un objeto $X^{-1}$ y isomorphisms $l_X : X^{-1} \otimes X \to 1$, $r_X : X \otimes X^{-1} \to 1$ tal que la composición de la $(r_X \otimes X)(X \otimes l_X) : X \to X \otimes X^{-1} \otimes X \to X$ es la identidad. (Esto no debería ser un problema; por supuesto que podemos encontrar $X^{-1}$, $l_X$, $r_X$ la satisfacción de todos, pero la última identidad, y podemos alterar $r_X$ a a hacer el último identidad de espera.) También tenemos que elegir $1^{-1} = 1$, $l_1 = r_1 = \mathrm{id}$.

Ahora podemos construir un estricto categoría monoidal $D$ cuyos objetos son los grupos gratis en los objetos de $C$, donde la estructura monoidal $\cdot$ es estricta y dado por la multiplicación de este grupo, y donde el Hom conjuntos son "tirados" a lo largo de la función de $f : \mathrm{Ob}\,D \to \mathrm{Ob}\,C$ que envía una reducción de la palabra en objetos de $C$ y sus inversos para el producto tensor de esos objetos y sus elegidos inversa objetos. Esto induce a una totalmente fieles functor $F : D \to C$ lo cual es, obviamente, también surjective y por lo tanto una equivalencia. Tenemos que hacer un monoidal functor. Para ello, tenga en cuenta que $F(A \cdot B) = F(A) \otimes F(B)$ menos que exista cancelación entre las palabras $A$ $B$ en el grupo libre. Donde no hay cancelación, utilizamos la isomorphisms $l_X$ $r_X$ para la construcción de un mapa de $F(A \cdot B) \to F(A) \otimes F(B)$. El monoidal functor condiciones se cumple debido a las condiciones en $l_X$$r_X$. Finalmente, el monoid de objetos de $D$ es por definición un grupo.

Como para el trenzado, debemos ser capaces de sacar lo largo de $F$ también, por lo que el $F$ es trenzado monoidal.