Probar el número de raíces del polinomio$Q(x)$

Question

Deje $P$ ser un polinomio, se ha $n$ distintas raíces reales y todas estas raíces son más grandes que 1. Vamos $$ Q(x)=(x^2+1)P(x)P'(x)+x[(P(x))^2+(P'(x))^2]. $$
Demostrar $Q(x)$ tiene al menos $2n-1$ distintas raíces reales.

Me empiezo a encontrar $Q(x)=0$ entre los dos raíces. Suponga $P(x)<0$$(x_1,x_2)$$P(x_1)=P(x_2)=0$. Existe un valor mínimo en $\xi\in(x_1,x_2)$ s.t. $$ P(\xi)<0, P'(\xi)=0, P"(\xi)>0. $$ Luego me $P(\xi)+P'(\xi)<0$.

Se puede deducir por la contradicción de que no todos los $x\in (x_1,x_2)$ satisfacer $P(x)+P'(x)\leq 0$. Por lo tanto, no existe $\eta$ s.t. $P(\eta)+P'(\eta)>0$, entonces no existe $\alpha$ s.t. $$P(\alpha)+P'(\alpha)=0.$$ $Q(\alpha)<2xP(\alpha)P'(\alpha)+x[((P(\alpha))^2+(P'(\alpha))^2]\leq 0$, es decir, $$Q(\alpha)<0.$$ Si he a$Q(x_1)>0$$Q(x_2)>0$, a continuación, por medio del teorema del valor hay dos raíces en $(x_1,x_2)$.

Los problemas de este pensamiento son:

(1) Incluso tengo dos raíces en cada intervalo, sólo $2n-2$ raíces se encuentran;

(2) $Q(x_1)>0$ $Q(x_2)>0$ puede ser cero y mi proceso sería inútil?

Espero que alguien me dé una respuesta o una sugerencia.

Answer 1

Yo reclamo que $$H(x) := \frac{Q}{xP(x)P'(x)} = \frac{x^2+1}{x}+\frac{P^2+P'^2}{PP'}$$ has at least $2n-2$ roots in its range of definition. Then in particular $P$ has at least $2n-2$ raíces.

Como usted ha propuesto, se fijan dos raíces $x_1 < x_2$ con no más raíces entre ellos y algunos de los valores intermedios $a$ $P'(a)=0$ (Teorema de Rolle).

Supongamos $P(a) > 0$, el otro caso es tratado de la misma manera.

A continuación,$P'<0$$(a,x_2)$.

Tenga en cuenta que $|P(a)| > |P'(a)|$ pero $|P(x_2)| \leq |P'(x_2)|$, por lo tanto, en algún momento en $(a,x_2)$ tenemos $|P|=|P'|$. En este punto tenemos $|\frac{P^2+P'^2}{PP'}| =2$ e lo $\frac{P^2+P'^2}{PP'}=-2$. También sabemos $\frac{x^2+1}{x}>2$$(a,x_2)$, debido a $x>1$.

Por lo tanto $H>0$, en este punto, claramente $\lim\limits_{x \to a, x>a} H = -\infty = \lim\limits_{x \to x_2, x<x_2} H$, con lo que obtenemos dos raíces de $H$ $(a,x_2)$ por el teorema del valor intermedio.

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Haciendo esto por los dos adyacentes raíces de $P$, este addds a a $2n-2$ raíces, yo.e $Q$ tiene al menos $2n-2$ raíces.

Aquí viene la frase de remate: $Q$ es un polinomio de grado impar, por lo tanto el número de raíces reales es impar. Por lo tanto tener al menos $2n-2$ bienes raíces realidad asegura tener al menos $2n-1$ raíces.

Answer 2

Ad (1): tenga en cuenta que $P(x)$ $P'(x)$ tienen signos opuestos para $x\ll 0$, por lo tanto $Q(x)<0$$x\ll 0$. Pero en la primera raíz real $x_0$$P$, $Q(x_0)=x_0P'(x_0)^2\ge0$ porque $x_0\ge1$. Por lo tanto hay una raíz adicionales de $Q$$(-\infty,x_0]$.

Ad (2): Si $P(x_i)=0$,$Q(x_i)=x_iP'(x_i)^2\ge 0$. Por lo tanto, si ambos $x_i$ son sólo simples raíces, entonces obtendremos dos distintas raíz insinde $(x_1,x_2)$. Mientras que si $P(x_i)$ $k$veces la raíz, $k\ge 2$, $x_i$ es precisamente un $(2k-2)$veces la raíz de $Q$. Así, en primer lugar, el $Q(x_i)$ cuentan como distintas raíces por sí mismos (pero eso es demasiado pocas). Pero al menos sabemos que $Q$ no tiene ningún cambio de signo en $x_i$. ¿Eso ayuda?