Sea $f: [0,1] \to \Bbb R^+$ ser mapa continuo entonces es posible tener $\int_0^x f(t)dt \geq f(x)$ ? Si existen tales funciones, ¿cuál será la cardinalidad del conjunto que tenga este tipo de funciones?
Si tengo $f$ es diferenciable entonces obtenemos $f(x) \leq e^x$ . Pero para $e^x$ la condición no se cumplirá. Entonces, ¿cómo podemos proceder?
La cardinalidad del conjunto de tales funciones es 1 :-) La única función de este tipo es $f \equiv 0$ .
Sea $u(x) = \int_0^x f(t)\,dt$ . Entonces $u'(x) = f(x)$ por lo que tenemos la desigualdad diferencial $u'(x) \le u(x)$ . Por La desigualdad de Gronwall con $\beta(x) =1$ concluimos $u(x) \le u(0) e^t = 0$ . Desde $f \ge 0$ también tenemos $u \ge 0$ . Por lo tanto $u \equiv 0$ . Diferenciación, $f \equiv 0$ también.
En realidad, la demostración de la desigualdad de Gronwall se reduce a un argumento muy sencillo en este caso. Sea $g(x) = u(x) e^{-x}$ . Entonces la regla del producto da $g'(x) = (u'(x) - u(x)) e^{-x} \le 0$ . Así que $g$ disminuye. $g(0) = 0$ por lo que tenemos $g \le 0$ . Desde $e^{-x} > 0$ tenemos $u \le 0$ y proceda como se indica más arriba.
Desde $[0,1]$ está cerrado y $f$ es continua, $m = \min\limits_{x \in [0,1]}f(x)$ y $M = \max\limits_{x \in [0,1]}f(x)$ existe.
Desde $f : [0,1] \to \mathbb{R}^+$ debemos tener $0 < m \le M$ .
Ahora, ¿puedes encontrar un valor de $x \in [0,1]$ para lo cual $\displaystyle\int_{0}^{x}f(t)\,dt < f(x)$ ?
Según su método si tal $x$ existe entonces $m<_0^x f(t)dt \leq M$ ¿entonces cómo se llega a la contradicción?
@user152715: Lo que has escrito tiene un pequeño error. Desde $m \le f(t) \le M$ tenemos $mx \le \int_0^x f(t)\,dt \le Mx$ . También, $f(x) \ge m$ . ¿Ves cómo llegar a la contradicción?
La propiedad $$ \int_0^x f(t)\,dt \ge f(x),\quad x\in [0,1],\tag{1} $$ es equivalente a $$ \mathrm{e}^{-x}\left(\int_0^x f(t)\,dt - f(x)\right)\ge 0,\quad x\in [0,1], $$ o $$ \left(\mathrm{e}^{-x}\int_0^x f(t)\,dt\right)'\le 0,\quad x\in [0,1]. $$ Así que si $g: [0,1]\to\mathbb R$ es continuamente diferenciable y decreciente, y $g(0)=0$ entonces $\,f(x)=\big(\mathrm{e}^{x}g(x)\big)'\,$ satisface $(1)$ .
Ejemplo. $f(x)=-(x+1)\,\mathrm{e}^{x}$ .
Forma general de $f$ . Todas estas funciones son de la forma $$ f(x)=\mathrm{e}^x\big(g(x)+g'(x)\big)=-\mathrm{e}^x\left(h(x)+\int_0^x h(t)\,dt\right), $$ donde $h$ es continua y no negativa.
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Supongo que quiere decir "para todos $x \in [0,1]$ ". (La respuesta es obviamente sí si sólo desea un único $x$ .)