Mason ' s teorema prueba. De álgebra (S. Lang)

Question

Mason del Teorema de la Prueba. Tengo una pregunta sobre el último paso de la prueba. Lo voy a escribir.

Mason del Teorema establece que si $a, b$ $c$ son relativamente primos polinomios tales que el $a + b = c$ $\max \{ \deg(a) , \deg(b) , \deg(c)\} \leq N_0(abc) -1 $ donde $N_0(f)$ es el número de los distintos factores de $f$.

Prueba: Supongamos $\displaystyle a(t) = \prod_{i=1}^{s_a} (t-\alpha_i)^{u_i},~ b(t) = \prod_{i=1}^{s_b}(t-\beta_i)^{v_i}, ~c(t) = \prod_{i=1}^{s_c}(t-\gamma_i)^{w_i} $

$N_0(abc) = s_a + s_b + s_c$. Deje $\displaystyle f = \frac{a}{c},~ g= \frac{b}{c}$. Por lo tanto $f + g = 1 \Rightarrow f' + g' = 0 \Rightarrow f' = - g'$.

$\displaystyle f' / f = \sum_{i=1}^{s_a} \frac{u_i}{t-\alpha_i} - \sum_{i=1}^{s_c} \frac{w_i}{t-\gamma_i}, ~~ g'/g =\sum_{i=1}^{s_b} \frac{v_i}{t-\beta_i} - \sum_{i=1}^{s_c} \frac{w_i}{t-\gamma_i}$

$\displaystyle \frac{b}{a} = \frac{g}{f} =\frac{g'/g}{f'/f} = \frac{M g'/g }{M f'/f}\cdots (1) $

donde $M =\prod_{i=1}^{s_a}(t-\alpha_i) \prod_{i=1}^{s_b}(t-\beta_i)\prod_{i=1}^{s_c}(t-\gamma_i)$.

Así que el denominador y el numerador en $(1)$ tiene el grado en la mayoría de las $s_a + s_b + s_c -1 $. Entonces llegamos a la conclusión de que la desigualdad del teorema. Pero, ¿cómo entiendo todas las pruebas, excepto la última cosa. Gracias

Answer 1

Suponga que los polinomios de coeficientes en un campo de característica $0$, de (I edición aquí) $b/a=-(f^{'}/f)/(g^{'}/g)$ se observa que el $\deg(f^{'}/f)=-\infty$ si $b=0$ $\deg(f^{'}/f)=-1$ si $a$ es igual a cero (I edición de aquí, porque la $f$ se define como $a/c$$\deg(f^{'})=\deg(f)-1$).

Por lo tanto $$\deg(M f^{'}/{f})\leq n_{0}(abc)-1$$

así, a partir de $-a(M\cdot f^{'}/{f})=b(M\cdot g^{'}/{g})$, podemos deducir que $a$ divide $M\cdot \frac{g^{'}}{g}$ desde $\gcd(a,b)=1$, este y los anteriores de divisibilidad relación implica $\deg(a)\leq n_{0}(abc)-1$.

Un argumento similar funciona para $\deg(b)\leq n_{0}(abc)-1$.

Obviamente de $a+b=c$ tenemos $\deg(c)\leq\max(\deg(a),\deg(b))$. Poner juntos estos resultados obtenemos $\max(\deg(a,b,c))\leq n_{0}(abc)-1$.

Referencias (no he abierto el acceso, me tomó de los detalles de esta historia, espero que sea posible):

Jeffrey Paul Wheeler de la Tesis, La conjetura abc.