¿Qué significan las identidades en$\mathrm{Set}^\mathrm{op}$?

Question

$\mathrm{Set}$ Tiene coproductos finitos, así que podemos considerar los modelos de teorías ecuacionales en el opuesto categoría $\mathrm{Set}^\mathrm{op}$. El resultado es básicamente esa función los símbolos $f : X^n \rightarrow X$ en la firma se interpretan como funciones $X \rightarrow nX$ $\mathrm{Set}.$

Que está muy bien, pero ¿qué significa en este contexto las identidades?

Hace un par de ejemplos sencillos: ¿cómo interpretamos las identidades expresando commutativity o asociatividad?

Answer 1

Conmutatividad: $f:X\times X \to X$ es conmutativa si $f\circ s=f$ donde $s:X\times X\to X\times X$ es el "cambio de ruta" que intercambia los roles de los dos canónica de los mapas de proyección.

De forma análoga, $g:X\to X+X$ sería "co-conmutativa" si $\sigma\circ g=g$ donde $\sigma:X+X\to X+X$ es de un "swap" que intercambia los roles de los dos canónica de las inyecciones.

Con los elementos, si representamos $A+B$ $(A\times\{0\})\cup (B\times\{1\})$ lo que esto significa que siempre que $g(x)=(y,0)$ también debemos tener $g(x)=(y,1)$ y viceversa. Esto es imposible, a menos que $X=\varnothing$, por lo que en $\mathbf{Set}^{\rm op}$ usted sólo puede tener un conmutativa de la identidad en este caso trivial.

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Asociatividad: Con elemento similar de seguimiento de argumentos, parece que un "co-asociativo" $g:X\to X+X$ requeriría una especie de "simulacro de idempotence": siempre que $g(x) = (y,i)$ ( $i\in\{0,1\}$ ) se debe sostener que $g(y)=f(y,i)$.

Esto es posible en la no-degenerada de los casos, como por ejemplo, $g:\mathbb Z\to\mathbb Z+\mathbb Z$ dada por $$ g(x) = \begin{cases} (42,0) & x\text{ is even} \\ (|x|,1) & x\text{ is odd} \end{cases} $$ pero todavía no es casi tan interesante como en $\mathbf{Set}$, debido a un "co-asociativo" mapa sólo consta de una partición de $X$ a a conjuntos de $A$ $B$ junto con idempotente mapas de $A\to A$$B\to B$. Para que los dos lados de la suma realmente no interactúan de manera útil, como se puede ordinario asociativa de la operación.

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En general: En $\mathbf{Set}$, una expresión que describe una "máquina" en la que se debe colocar un elemento en cada una de las ranuras de entrada de nombre; entonces podemos girar la manija y un único resultado que sale en la raíz de la expresión. Una identidad entre dos expresiones afirma que las dos máquinas se comportan de la misma (visto desde fuera).

Doblemente, una expresión en $\mathbf{Set}^{\rm op}$ describe una "máquina", donde se oferta un único valor de entrada en la raíz; luego gire el mango de una salida caerá en exactamente uno de los nombre ranuras de salida.

En $\mathbf{Set}^{\rm op}$, una constante carta (o cualquier otra expresión que sin variables libres) debe representar a una máquina donde, después de girar la manija, un valor cae a exactamente uno de los sin nombre ranuras de salida. Esto es imposible, a menos que el mango está atascado. Formalmente, una constante carta tendría que ser interpretado por una función de $X\to\varnothing$, y que tal cosa existe sólo si $X$ está vacía.

Por lo tanto, si usted quiere interpretar $x+(-x)=0$ $\mathbf{Set}^{\rm op}$ te encuentras con el problema de que "$0$" no puede ser interpretado en absoluto menos de $X=\varnothing$, en cuyo caso todo lo que es aburrido.