Estructuras en formas de 7 dimensiones espaciales esféricos de la vuelta

Question

De fondo

Deje $M$ ser un spin colector y deje $\Gamma$ ser finito grupo que actúa libremente y isométricamente en $M$ de tal manera que $M/\Gamma$ es un buen colector de riemann. El cociente será la vuelta si y sólo si la acción de $\Gamma$ $M$ ascensores a la vuelta de paquete.

Por razones que tienen que ver con $11 = 7 + 4$, me interesé en $M=S^7$ con la ronda de métrica. Hay un giro único de la estructura en $S^7$ y el spin paquete es $$\mathrm{Spin}(7) \to \mathrm{Spin}(8) \to S^7.$$

Hace un tiempo, junto con uno de mis estudiantes, se determinó que los suaves cocientes $S^7/\Gamma$ son spin y cuántos no equivalentes spin estructuras pueden admitir. Esto se reduce a la determinación de la isomorfo ascensores de $\Gamma \subset \mathrm{SO}(8)$$\mathrm{Spin}(8)$.

Hay un montón de subgrupos finitos $\Gamma \subset \mathrm{SO}(8)$ a actuar libremente en $S^7$, que se enumeran en el Lobo de los Espacios de curvatura constante y, para nuestra sorpresa (esto no ocurre con $S^5$, por ejemplo) se encontró que todos los cocientes $S^7/\Gamma$ son spin; a pesar de que no todos tienen el mismo número de spin estructuras. Nuestros resultados fueron obtenidos por un caso-por-caso de análisis, pero siempre se mantuvo con el escurridizo la sospecha de que debería ser un simple topológica de la explicación.

Pregunta

Hay uno? Quizás basadas en la parallelizability de $S^7$?

Gracias de antemano.

Editar

Estoy respondiendo a Chris preguntas en el primer comentario abajo.

El problema es, de hecho, la existencia de un subgrupo de $\Gamma' \subset \mathrm{Spin}(8)$ tal que obvia la plaza de viajes: $$\Gamma' \to \Gamma \to \mathrm{SO}(8) = \Gamma' \to \mathrm{Spin}(8) \to \mathrm{SO}(8)$$ y en el primer mapa de $\Gamma' \to \Gamma$ es un isomorfismo. Este es el mismo como el levantamiento de $\Gamma \to \mathrm{SO}(8)$ a través de la tirada de cubierta doble.

El más simple contraejemplo para $S^5$ es tomar cualquier actúa libremente subgrupo cíclico $\Gamma \subset \mathrm{SO}(6)$ de su pedido.

Answer 1

Aquí es una respuesta parcial. Si el orden de $\Gamma$ es impar, entonces esta es una aplicación trivial de transferencia de mapas. Usted ha descrito su colector como un cociente $\pi:S^7 \to M = S^7/\Gamma$, y, por tanto, $S^7$ es una cubierta espacio de $M$. La transferencia de mapa es una forma equivocada mapa en cohomology:

$ \tau^* : H^* (S^7) \to H^* (M) $

que existe para cohomology en, digamos, $\mathbb{Z}/2$-de los coeficientes. La composición de la $\tau^* \pi^*$ es la multiplicación por la orden de $\Gamma$, que en este caso es un isomorfismo cuando el orden de $\Gamma$ es impar. Pero desde el cohomology de $S^7$ se desvanece en los grados 1 y 2, esto demuestra que estos grupos también desaparecen para $M$ y, por tanto, $M$ tiene un giro de la estructura y es único.

El caso más interesante es cuando se $\Gamma$ 2-primaria. Por ejemplo, ¿por qué $\mathbb{R}P^7$ tiene un giro de la estructura? Sospecho que su intuición es irregular y que tiene que ver con la elaboración de $S^7$.

Answer 2

Yo sospecho trialidad está involucrado. Los dos spinor representaciones de giro(8) de giro(8) tiene la misma dimensión que los fundamentales de la representación vectorial de giro(8) para todos los otros spinor grupos de las representaciones no tienen la misma dimensión y creo que esta es la relativa a la trialidad. Aquí está un artículo en trialidad:

http://en.wikipedia.org/wiki/Triality

Tiene referencias a otros materiales. También consulte este artículo en(8):

http://en.wikipedia.org/wiki/SO(8)