Una desigualdad algebraica difícil

Question

Esta es una vieja desigualdad pero no he visto una solución satisfactoria y todavía estoy esperando que alguien de aquí puede proporcionar una. Hay un par de fuerza bruta soluciones, pero no proporcionan la penetración en la desigualdad y me sorprendería si no hay un truco: $$x\frac{(y+z)^2}{(1+yz)^2} + y\frac{(x+z)^2}{(1+xz)^2} + z\frac{(x+y)^2}{(1+xy)^2} \ge \frac{3\sqrt 3}{4}$$ para $xy+yz+zx = 1$, todo positivo.

Mi intento fue el de tratar de encontrar un límite inferior de la izquierda en términos de simétrica cantidades como $u=x+y+z$$w=xyz$, sin embargo no he tenido mucho éxito a pesar de los múltiples intentos. Por ejemplo, el lado izquierdo de arriba puede ser delimitada, desde abajo, por $$\sum x\frac{(y+z)^2}{(1+yz)^2} \ge\frac{\left(\sum x(y+z)^2\right)^3}{\left(\sum (y+z)(1-y^2z^2)\right)^2} = \frac{\left(u+3w\right)^3}{\left(u+2u^2w+w\right)^2}$$ pero el de arriba tiene un mínimo de un poco menos de $3\sqrt 3/4$.

También he probado un cotangente de sustitución y de la ruptura de la simetría (es decir, asumiendo $x\ge y\ge z$) pero yo no entiendo mucho.

No sé el origen de la desigualdad, pero se supone que debe de ser de nivel de competencia por lo que sospecho que tiene una bonita y difícil solución, y no simplemente la fuerza bruta. Así que, yo estoy esperando que alguien de aquí va a encontrar.

Answer 1

Tenemos que demostrar que $$\sum_{cyc}\frac{x(y+z)^2}{(xy+xz+2yz)^2}\geq\frac{3}4\sqrt{\frac{3}{xy+xz+yz}}$$ o $$\sum_{cyc}\frac{\frac{1}{x}\left(\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right)^2}{\left(\frac{1}{xy}+\frac{1}{xz}+\frac{2}{yz}\right)^2}\geq\frac{3}{4}\sqrt{\frac{3}{\frac{1}{xy}+\frac{1}{xz}+\frac{1}{yz}}}$$ o $$\sum_{cyc}\frac{x(y+z)^2}{(y+z+2x)^2}\geq\frac{3}{4}\sqrt{\frac{3xyz}{x+y+z}}.$$ Ahora, vamos a $x+y+z=3u$, $xy+xz+yz=3v^2$ y $xyz=w^3.$

Por lo tanto, tenemos que demostrar que $$\frac{u(-11w^6+756u^3w^3-126uv^2w^3+972u^4v^2-576u^2v^4)}{(w^3+9uv^2+54u^3)^2}\geq\frac{1}{4}\sqrt{\frac{w^3}{u}}$$ or $f(v^2)\geq0$, donde $$f(v^2)=4u(-11w^6+756u^3w^3-126uv^2w^3+972u^4v^2-576u^2v^4)-$$ $$-(w^3+9uv^2+54u^3)^2\sqrt{\frac{w^3}{u}}.$$ Ahora, es obvio que $f''(v^2)<0$, que dice que $f$ es una función cóncava.

Pero el cóncavo función obtiene un valor mínimo para un valor extremo de $v^2$,

lo que sucede por la igualdad caso de dos variables.

Desde $f(v^2)\geq0$ es homogénea la desigualdad es suficiente para suponer que el $y=z=1$

y tenemos que demostrar que $$\frac{4x}{(2+2x)^2}+\frac{2(x+1)^2}{(x+3)^2}\geq\frac{3}{4}\sqrt{\frac{3x}{x+2}}$$ o $$(x-1)^2(37x^7+346x^6+1339x^5+2700x^4+2891x^3+1466x^2+309x+128)\geq0.$$ Hecho!