Caracterizando dónde la serie $f(x)=\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{1}{1+n^2|x|}$ es uniformemente convergente.

Question

Sea $f(x)=\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{1}{1+n^2|x|}$.

1. Para qué valores de x converge esta serie.
2. Caracteriza los subconjuntos de $\mathbb{R}$ en los que la serie converge uniformemente.

1. Solo hay dos casos a tratar $x=0$ y $x>0$. Si $x<0$, debido al valor absoluto, simplemente tenemos el caso $x>0$ de nuevo. Para $x>0$ tenemos $$\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{1}{1+n^2|x|}\leq \sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^2|x|}=\frac{1}{|x|}\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^2}<\infty.$$ Para $x=0$ tenemos una serie divergente.

2. En cualquier intervalo que contenga $0$ no ocurrirá convergencia. En cualquier intervalo que no contenga $0$ hay convergencia uniforme por el Test de Weierstrass M.

   Si tenemos un intervalo abierto donde $0$ es un extremo, entonces no tenemos convergencia uniforme. Observa,

   $$\left|\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{1}{1+n^2|x|}\right|<\frac{1}{2}$$

   y dejemos $x=\pm \frac{1}{n^2}$.

¿Son correctas mis respuestas anteriores?

Answer 1

En (2), "cualquier intervalo que no contenga 0" debe leerse como "cualquier intervalo a una distancia positiva de $0$'' (considera el intervalo $(0,1)$ como contraejemplo).

Para refutar la convergencia uniforme, no se debe considerar la suma $\sum\limits_{n=1}^{+\infty}$ (como pareces estar haciendo) sino las sumas $\sum\limits_{n=N}^{+\infty}$. Entonces, tu idea de considerar $x=1/N^2$ es buena ya que $u_N(1/N^2)=1/2$, con $u_n(x)=1/(1+n^2|x|)$. Por lo tanto, para cada $N$, $\sum\limits_{n=N}^{+\infty}u_n(1/N)\gt u_N(1/N)=1/2$ y el resto $\sum\limits_{n=N}^{+\infty}u_n$ de la serie no converge a cero uniformemente en ningún intervalo cuyo cierre contiene $0$.