Los puntos racionales en la curva:$y^2=ax^4+bx^2+c$.

Question

Me pregunto cómo encontrar los puntos racionales en la curva:$y^2=ax^4+bx^2+c$.

¿Hay infinitos puntos racionales en esta curva?

Por ejemplo:$y^2=x^4+3x^2+1.$ Si configuramos$y=x^2+k$, entonces$2kx^2+k^2=3x^2+1$, ¿Se puede cambiar la ecuación a la forma:$y^2=ax^3+bx^2+cx+d$?

Gracias por adelantado.

Answer 1

Usted puede encontrar algunos de los cambios de variables para transformar una cuártica hyperelliptic curva en una ecuación de Weierstrass

• Página 77 de: Mordell, Diophantine Ecuaciones, Academic Press, Nueva York, 1969.

• Página 37 de: L. Washington, Curvas Elípticas: Teoría de números y Criptografía (Matemática discreta y Sus Aplicaciones), Chapman & Hall, 2003.

Los resultados están expresados en mi artículo con Scott Brazos y Steven Miller, Apéndice B, página 17.

Answer 2

Puede convertir$y^2 = a x^4 + b x^2 + c$ en$y^2 = x^3 + px + q$ asumiendo que puede encontrar un punto racional en$y^2 = a x^4 + b x^2 +c$. El caso más fácil es cuando$a$ es cuadrado. Hago un ejemplo de este cálculo aquí .

Answer 3

Puede buscar puntos en este tipo de ecuación (de cualquier grado) usando la interfaz de Sage-s al programa de puntos de ratas C de Michael Stoll, pero está oculto:

 sage: from sage.libs.ratpoints import ratpoints
sage: ratpoints([1,0,3,0,1],1000)
[(1, 1, 0), (1, -1, 0), (0, 1, 1), (0, -1, 1)]
 

Ahora, esta es la ecuación de una curva del género 1, por lo que si tiene algún punto racional, entonces es isomorfo para su jacobiano, que puede poner en forma de Weierstrass usando fórmulas estándar. Esto se puede hacer en Sage: probar Jacobian?