¿Qué valores puede tener $2^j-3^k$?

Question

¿Qué valores puede tener $2^j-3^k$?

Por ejemplo, $$ 2 ^ 2-3 ^ 1 = 1\ 2 ^ 2 3 ^ 0 = 3\ 2 ^ 3-3 ^ 1 = 5\ 2 ^ 4-3 ^ 2 = 7 $$

¿Puede cada número no divisible por % escribir $2$o $3$ $2^j-3^k$? Si no, ¿por qué?

Answer 1

intentamos encontrar un coprimo de $n$ $6$ tal que $2^j-3^k$ no cubre todas las opciones $\bmod n$.

Ya que queremos que $2^j$ para cubrir un pequeño número de casos que vamos a probar con $n=2^m-1$.

Encontramos que el orden de $3\bmod 511$ $12$ y el orden de $2\bmod 511$ claramente $9$.

Así se cubren sólo una pequeña fracción de residuos $\bmod 511$ $2^j-3^k$.

Answer 2

Supongamos que $k\neq 0, j \neq 0.$que $a = 2^j - 3^k$. Si $2|a$ y $2|3^k:$ contradicción. Por lo tanto, $a$ no es divisible por 2. Argumento similar es válido para 3.