El Teorema de Schwarz y Discontinuo Segundo Derivados

Question

Deje $f:\mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}$ dos veces diferenciable en a $a$. Supongamos que $\frac{\partial^2f}{\partial x \partial y}$ es continua en a $a$. Es posible que $\frac{\partial^2 f}{\partial y \partial x}$ es discontinua en a $a$?

La pregunta está motivada por Schwarz Teorema - como esta observación demuestra que no sería de ayuda en el mero cómputo de los derivados, debido principalmente a que no sé si tanto la segunda derivada son continuas. Y lo que se necesita para aplicar Schwarz (al menos en la forma que yo sé el teorema).

Answer 1

Teorema de 9.41 en el Bebé Rudin:

Supongamos que $\frac{\partial f}{\partial x}$, $\frac{\partial^2f}{\partial x \partial y}$ y $\frac{\partial f}{\partial y}$ existen en un barrio de $a$ $\frac{\partial^2f}{\partial x \partial y}$ es continua en a $a$.

A continuación, $\frac{\partial^2f}{\partial y \partial x}$ existe en $a$ $$\frac{\partial^2f}{\partial x \partial y}(a)=\frac{\partial^2f}{\partial y \partial x}(a)$$

Aquí la existencia de $\frac{\partial f}{\partial x}$, $\frac{\partial^2f}{\partial x \partial y}$ y $\frac{\partial f}{\partial y}$ está garantizada por el doble de la diferenciabilidad de la asunción.