Intuición detrás del subgrupo de Frattini

Question

Estoy tratando de obtener una mejor idea de lo que el Frattini subgrupo realmente es, intuitivamente.

Deje $G$ ser un grupo y denotar su Frattini subgrupo por $\Phi(G)$. Sé que $\Phi(G)$ es la intersección de la máxima subgrupos de $G$, y sé que es el conjunto de los 'no-generadores' (Isaacs llama 'inútil' elementos) de $G$, es decir, elementos $u$ si $\langle X \cup \{u\} \rangle =G$,$\langle X \rangle = G$, o, equivalentemente, si $\langle X \rangle \ne G$, $\langle X \cup \{u\} \rangle \ne G$ donde $X \subseteq G$ es un subconjunto de a $G$, e $u \in \Phi(G)$.

Desde $\Phi(G)$ es el conjunto de estos elementos, sería de gran ayuda para entender mejor lo que exactamente estos elementos. Es cierto que un elemento $u \in \Phi(G)$ es necesariamente un producto de los elementos de la $X \subseteq G$ ($u$ y $X$ anterior)? Si no, ¿qué es un ejemplo donde no está?

Por último, cuando se hace exactamente la conexión se encuentran entre estos "no-generadores" y (la intersección) de la máxima subgrupos? ¿Cómo vemos los que deben estar en un subgrupo maximal, y por el contrario que si un elemento se encuentra en todas máxima subgrupos, entonces debe ser un "no-generator'?

Gracias por la ayuda, como siempre.

Answer 1

La equivalencia entre las dos condiciones es puramente formal, que ocupa en cada una de las categorías de estructuras algebraicas.

Si $u$ es un no-generador y $H$ es un subgrupo maximal de a $G$ (nos referimos, por supuesto, una máxima adecuada subgrupo), a continuación,$\langle H \rangle = H \neq G$, por lo tanto $\langle H,u \rangle \neq G$, lo que implica $H = \langle H,u \rangle$ desde $H$ es máxima, y por lo tanto $u \in H$. Por lo tanto, $u$ se encuentra en cada subgrupo maximal.

Si $u$ no es un no-generador, elegir algunos $X \subseteq G$ $\langle X \rangle \neq G$ pero $\langle X,u \rangle = G$. Por el Lema de Zorn hay un subgrupo $H$ que es la máxima con la propiedad de que contiene $X$, pero no contiene $u$. De hecho, $\langle X \rangle$ es un subgrupo, y si $\cal C$ es no vacía cadena de subgrupos, entonces uno puede comprobar fácilmente que $\cup \cal C$ es un subgrupo con esta propiedad. Observar que $H$ es máxima: Si $K$ es un subgrupo que contiene $H$ correctamente, debemos tener $u \in K$$X \subseteq K$, por lo tanto $K=G$. Por lo tanto, $H$ es un subgrupo maximal que no contengan $u$.

Nota: No todos los subgrupos de un grupo puede ser ampliada hasta un máximo de subgrupo. De hecho, hay grupos (como $\mathbb{Q}$) con el nº máximo de subgrupos. Por lo tanto la prueba es algo torpe, pero funciona.

Más generalmente, si $G$ es cualquier estructura algebraica, entonces la intersección de todas adecuado de las subestructuras de $G$ es el llamado radical de $G$, y por la prueba anterior coincide con el conjunto de todos los no generadores de $G$. Si $G$ es un grupo, se obtiene la Frattini subgrupo. Si $G$ es una izquierda módulo a través de un anillo de $R$, obtenemos su radical, que en el caso particular de $G=R$ es conocido como el Jacobson radical. Así que el Frattini subgrupo es en realidad un caso especial de una forma más general de la construcción, cuyos casos especiales, uno podría estar familiarizado con.

Probablemente la mejor manera de familiarizarse con el Frattini subgrupo es aprender algunas de sus propiedades atractivas. Es siempre una característica de los subgrupos. Si $G$ es un grupo finito, a continuación, $\Phi(G)$ es nilpotent. Si $G$ es finita $p$ -, $\Phi(G)$ es el menor subgrupo normal cuyo cociente es elemental abelian. En esta situación, Burnside del Teorema de la Base de los estados que un subconjunto genera $G$ si y sólo si su imagen genera la $\mathbb{F}_p$-espacio vectorial $G/\Phi(G)$, lo que reduce la condición anterior al álgebra lineal.

Answer 2

Tome el grupo cíclico $\,G:=\langle\,x\,\rangle\,$ orden $\,p^2\,\,\,,\,\,p\,$ de una prima. A continuación, $\,\Phi(G)=\langle\,x^p\,\rangle\,$ (es fácil comprobar que esta tomando $\,G\,$ como un espacio vectorial sobre $\,\Bbb F_p=\Bbb Z/p\Bbb Z\,$ de la dimensión de $\,2\,$).

Sabemos que los generadores de $\,G\,$ son los elementos $\,x^i\,$ ,$\,(i,p)=1\iff p\nmid i\,$ , y por lo tanto todos los elementos de la forma $\,x^{kp}\,\,,\,\,k\in\Bbb Z\,$ , son los que no generan $\,G\,$, es decir, la no-generadores.

Por último, si usted sabe que la prueba de la relación entre el Frattini subgrupo y el conjunto de no-generadores, se puede observar que un elemento que pertenece a todos la máxima subgrupos de $\,G\,$ tiene que ser un no-generador, ya que de lo contrario, junto con algunos otros subconjunto generaría todo el grupo , sin ser posible colocar este elemento de la totalidad de la generación del sistema, y a partir de aquí se puede construir un máximo subgrupo que no contienen ese elemento (Zorn Lema de llamadas en la general, no-finito caso)...