Deje $(a_n)_{n \in \mathbb{N}}$ una secuencia. Podemos decir que el $\lim_{n \rightarrow \infty} a_n = L$, si para cada a $\varepsilon >0$ existe $n_0 (\varepsilon) \in \mathbb{N}$, de tal manera que
$$n > n_{0}(\varepsilon) \Rightarrow |a_n - L| < \varepsilon $$
Considere $g: \mathbb{N}\times \mathbb{N} \rightarrow \mathbb{R}$, me gustaría saber cómo me gustaría escribir
$$\lim_{n \rightarrow \infty}\left( \lim_{k \rightarrow \infty} g(n,k)\right) = L $$
en términos de la $\varepsilon$-$\delta$ lenguaje.
Mi progreso
En primer lugar, he definido $\bar{g}(n)$ $ \bar{g}(n) := \lim_{k\rightarrow \infty} g(n,k) $ (supongo que los límites siempre existe simplemente para tratar de entender lo que está sucediendo). Para la fijación de $n \in \mathbb{N}$, para cada $\varepsilon/2 >0$ existe $k(n,\varepsilon) \in \mathbb{N}$, la satisfacción de
$$k > k(n,\varepsilon) \Rightarrow |g(n,k) - \bar{g}(n)| < \varepsilon/2.$$
Por otro lado $\lim_{n \rightarrow \infty} \bar{g}(n) = L$. En consecuencia, para cada $\varepsilon/2 >0,$ existe $n_0(\varepsilon) \in \mathbb{N},$ satisfactorio
$$n > n_0(\varepsilon) \Rightarrow |\bar{g}(n) - L| < \varepsilon/2 $$
Por lo tanto, que une los dos resultados anteriores tenemos que la definición de la doble límite sería:
Para cada $\varepsilon>0,$ existe $n_0(\varepsilon)$ $\in$ $\mathbb{N}$, y para cada $n> n_0(\varepsilon)$, existe $k(n,\varepsilon)$ $\in$ $\mathbb{N}$, tal que
$$n> n_0(\varepsilon),\hspace{0.1cm} k>k(n,\varepsilon) \Rightarrow |g(n,k) - L| < \varepsilon. $$
Es esto correcto? No estoy seguro de con mi resultado.
Gracias de antemano
