Ejemplos de abelian subgrupos de no abelian grupos.

Question

Estoy buscando ejemplos de abelian subgrupos de no abelian grupos. Por favor me ilumine.

Answer 1

Deje $G$ ser cualquier grupo Abelian o no, y vamos a $g\in G$. A continuación,$\langle g\rangle=\{g^n:n\in\Bbb Z\}$, en el subgrupo de $G$ generado por $g$, es Abelian.

Answer 2

El más pequeño no abelian grupo es el grupo simétrico $S_3$ orden $6$. Así que todos sus apropiado subgrupos son abelian (el subgrupo trivial, tres subgrupos de orden $2$ y un subgrupo de orden $3$).

Answer 3

El centro del grupo es un subgrupo. No necesariamente contienen todos los Abelian subgrupos.

Answer 4

El diedro grupos son ejemplos de no-abelian grupos con un máximo subgrupo cíclico, por lo tanto abelian.

Otros ejemplos del mismo tipo puede ser construido mediante dos números primos $p, q$, y considerar el orden de $n$ $q$ modulo $p$, por lo que el más pequeño de $n$ tal que $q^{n} \equiv 1 \pmod{p}$.

A continuación, el campo finito $\mathbf{F}_{q^{n}}$ contiene un elemento $g$ de multiplicativa orden de $p$. Si tenemos en cuenta la semidirect producto$G$$A$, el grupo aditivo de $\mathbf{F}_{q^{n}}$,$\langle g \rangle$, actuando por multiplicación, a continuación, $A$ será un abelian, la máxima subgrupo de la no-grupo abelian $G$.