Si $G \times H$ es isomorfo a $G _1\times H_1$ debe $G$ ser isomorfo a $G_1$ o $H_1$?

Question

Lo acaba de probar si $G$ es isomorfo a $G_1$, $H$ es isomorfo a$H_1$, $G \times H$ es isomorfo a $G_1 \times H_1$. Me pregunto ¿esto podría ser un si y sólo si la instrucción. Lo que significa que, Si $G\times H$ es isomorfo a $G _1\times H_1$ debe $G$ ser isomorfo a $G_1$ o $H_1$?

Answer 1

Esto no es cierto para los números enteros (por ejemplo,$4 \times 4 = 2 \times 8$). El grupo correspondiente de la teoría de ejemplo es ese $(C_2^2) \times (C_2^2) \cong C_2 \times (C_2^3)$.

Una versión modificada de esta cuestión se pregunta si $G \cong G_1$ implica $H \cong H_1$. Esto resulta ser cierto si $G$ es finito; ver Hirshon es Sobre la cancelación en grupos. Este resultado es claramente falso, en general, para el infinito grupos (basta encontrar un grupo no trivial $G$ tal que $G \cong G^2$, y, por ejemplo, la suma directa de countably muchas copias de un determinado grupo de obras).

Answer 2

Productos directos son asociativos en el sentido de que $(A\times B)\times C \;\cong A\times(B\times C)$ son isomorfos. Así que podría recoger $A=\mathbb{Z}/p\mathbb{Z},\,B=\mathbb{Z}/q\mathbb{Z},\,C=\mathbb{Z}/r\mathbb{Z}$ para distintos números primos $p,q,r$ para un fácil contraejemplo.