El Lagrangiano para el campo gravitacional en ausencia de la materia es el siguiente $$L=(1/k)\int dx^4 \sqrt g R,$$ where $k=\sqrt G$, $g$ is the determinant of the metric and $R$ the Ricci scalar: it's possible to fix a background metric like $\eta_{uv}$ and then study the perturbations $h_{uv}$ around it, given by $$L=L^{0}+kL^{1}+k^{2}L^{2}+.......$$ Ahora, dada la transformación de la ley de $h_{uv}$, ¿cómo es posible decir que todo el Lagrangiano es todavía invariantes bajo local diffeomorphisms? El dinámico campo ahora no es $g_{uv}$, pero $h_{uv}$: $L^{0}$ plazo es claramente invariantes bajo diffeomorphisms, ya que describe la cinética de parte de las perturbaciones, pero, ¿y los otros?
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JamalS
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Esquemáticamente, la acción de Einstein-Hilbert está dada por,
$$S \sim \int d^D x \, \sqrt{|\det g_{\mu\nu}|} \, \mathcal R$$
para una métrica, $g_{\mu\nu}$. Ahora, como se señaló en anteriores preguntas y por el OP, se puede ampliar el campo,
$$g_{\mu\nu} = \eta_{\mu\nu} + h_{\mu\nu}$$
y desde la inversa de la métrica es una serie infinita en $h_{\mu\nu}$, se obtiene un número infinito de términos, en la acción de Einstein-Hilbert expresadas en este formulario. Este procedimiento no violar diffeomorphism invariancia, como se trata de un mero campo de redefinición y sabemos que todos los términos de la suma para dar a $S$.
Podemos expresar cualquier métrica en la forma $\eta_{\mu\nu} + h_{\mu\nu}$, es tan trivial como la expresión de un escalar $\phi$ en términos de dos escalares, uno de los cuales podemos elegir de forma totalmente libre, por ejemplo,$\phi = \eta + h$.
