Método sencillo para $\frac{(2n+1)!}{(n!)^{2}}$ dividir $lcm(1,2,\ldots,2n+1)$

Question

La cuestión es demostrar que $\frac{(2n+1)!}{(n!)^{2}}$ divide $lcm(1,2,\ldots,2n+1)$ .

Parece que debería ser una pregunta sencilla, pero por mucho que lo intento, no consigo encontrar ninguna forma que no implique un complicado argumento utilizando la factorización de primos.

¿Alguien conoce algún método sencillo y obvio para demostrarlo? Muchas gracias.

Answer 1

No estoy seguro de que este argumento sea complicado, pero una forma de demostrar la afirmación es la siguiente:

Sea $v_p(k)$ sea el valoración de primera $p$ en número $k$ es decir, la potencia más alta de $p$ que divide $k$ . Podemos hacer algunas observaciones:

• Cada $p$ -ésimo entero contribuye con una ocurrencia de $p$ en la factorización en primos de $(n!)$ . Cada $p^2$ -th contribuye con un $p$ etc. Esto puede resumirse como la igualdad $$v_p(n!) = \left\lfloor\frac{n}{p}\right\rfloor + \left\lfloor\frac{n}{p^2}\right\rfloor + \left\lfloor\frac{n}{p^3}\right\rfloor + \ldots = \sum\limits_{e\geq 1} \left\lfloor\frac{n}{p^e}\right\rfloor$$
• La suma es infinita, pero sólo primero $\left\lfloor \log_p(n)\right\rfloor$ son distintos de cero.
• Un razonamiento similar se aplica a $$v_p((2n+1)!) = \sum\limits_{e\geq 1} \left\lfloor\frac{2n+1}{p^e}\right\rfloor$$ en la que sólo se $\left\lfloor \log_p(2n+1)\right\rfloor$ son distintos de cero.
• Para cualquier número entero positivo $n$ y $k$ tenemos $$\left\lfloor\frac{2n+1}{k}\right\rfloor \leq 2\left\lfloor\frac{n}{k}\right \rfloor+1$$
• $v_p(a/b) = v_p(a) - v_p(b)$ Así que $$v_p\left(\frac{(2n+1)!}{(n!)^2}\right) = \sum\limits_{e\geq 1} \left(\left\lfloor\frac{2n+1}{p^e}\right\rfloor - 2\left\lfloor\frac{n}{p^e}\right\rfloor\right)\leq \lfloor\log_p(2n+1)\rfloor$$
• $v_p(\mathrm{lcm}(a,b)) = \max(v_p(a), v_p(b))$ Así que $$v_p(\mathrm{lcm}(1,2,\ldots,2n+1)) = \left\lfloor log_p(2n+1)\right\rfloor$$
• Número $a$ divide el número $b$ si y sólo si para todos los primos $p$ tenemos $v_p(a)\leq v_p(b)$ . Pero acabamos de demostrar que esto es válido para $\frac{(2n+1)!}{(n!)^2}$ y $\mathrm{lcm}(1,2,\ldots,2n+1)$ Q.E.D.