Demostrar que para cualquier prime $p$ si $a>b$ $p^2$ divide $C(pa,pb)-C(a,b)$.

Question

Vamos, $p$ ser una de las primeras y $a>b$. Si $\operatorname{C}(n,r)$ denota la combinación de $r$ objetos de una colección de $n$ objetos tomado al mismo tiempo, demostrar que $\operatorname{C}(pa,pb)-\operatorname{C}(a,b)$ es divisible por $p^2$.

Trató de usar De Polignac la fórmula, pero, es difícil de conseguir y laborioso y no funciona. Luego he intentado solucionar $b$ y aplicar inducción en $a$. Es también extremadamente difíciles de manejar los cálculos derivados de ella. ¿Cómo puedo atacar este problema ahora? Porque acaba de romper hacia abajo y escrito de forma explícita no es una buena opción, supongo.

Answer 1

Esto fue demostrado por Charles Babbage en 1819. La declaración de divisbility por $p^3$ es conocido como Wolstenholme del teorema. Ver también la página (o esta respuesta y uno de sus comentarios) para una combinatoria prueba de la divisibilidad por $p^2$.