Tenga en cuenta lo siguiente:
Dado un conjunto denso en el plano, ¿siempre existe un segmento de línea en la que este conjunto es denso?
He sido desconcertante sobre esto durante algún tiempo. ¿Puede alguien ayudar o darme algunos consejos?
Respuestas
¿Demasiados anuncios?
Oli
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Voy a interpretar tu pregunta como preguntando si para cualquier conjunto $S$ que es denso en el avión, hay un segmento de la línea de $PQ$ de manera tal que la intersección de a$S$, con un intervalo $PQ$ es denso en $PQ$.
La respuesta es no. De hecho, hay un conjunto $S$ que es denso en el avión y no contiene tres puntos colineales. Por lo tanto para cualquier segmento de la línea de $PQ$, la intersección de a $S$ $PQ$ tiene a lo más dos puntos. No muy denso!
Hay una muy buena entrada de blog por Gowers que explica este resultado, y proporciona una prueba simple. No se puede esperar a mejorar en Gowers.
lowglider
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562
En los comentarios de André Nicolás respuesta, Emilio le preguntó si había una manera de llevar a cabo la Gowers construcción sin usar el Axioma de Elección. Voy a tratar de esbozar cómo hacerlo aquí:
En primer lugar, permítanme resumir la construcción por Gowers: para encontrar un subconjunto denso $A$ $\mathbb R^2$ que no contiene tres puntos colineales, podemos tomar una enumeración $(q_1, q_2, \dotsc)$$\mathbb Q^2$, vamos a $D_n$ ser una bola de radio $1/n$ $q_n$ todos los $n \in \mathbb N$, y para cada una de las $n \in \mathbb N$, elija $a_n \in D^*_n = D_n \setminus \bigcup_{1\le i < j < n} L_{ij}$ donde $L_{ij}$ es el conjunto de puntos colineales con $a_i$$a_j$, y deje $A = \{a_1, a_2, \dotsc\}$. Dado que todos los $L_{ij}$ es una línea y $D_n$ es una bola, es fácil ver que $D^*_n$ no puede ser vacío, por lo que AC se puede elegir un punto de $a_n$ a partir de cada uno de ellos. El reto es hacerlo de forma constructiva, sin el uso de CA en cualquier forma.
Ahora, la enumeración de $\mathbb Q^2$ no es difícil de hacer de forma explícita, sólo un poco tedioso, y una vez que tenemos la enumeración, podemos conseguir las bolas $D_n$ directamente. (Por ejemplo, ya que en realidad no importa aquí si hacemos un doble recuento de algunos puntos en $\mathbb Q^2$, podemos definir a la $f: \mathbb N \to \mathbb N^4$ como el inverso de la generalizada Cantor función de sincronización $\pi^{(4)}$, $g: \mathbb N \to \mathbb Z$ como $g(n) = (-1)^n \lfloor \frac n2 \rfloor$, y deje $q_n = (g(a_n)/b_n, g(c_n)/d_n)$ donde $(a_n,b_n,c_n,d_n) = f(n)$. No es difícil mostrar que $n \mapsto q_n$ es un surjection de$\mathbb N$$\mathbb Q^2$.)
La parte difícil es dar una fórmula explícita para $a_n$, determinado$D_n$$a_i$$1 \le i < n$. Voy a seguir Gowers el ejemplo de la primera por la elección de una línea de $L$ pasando a través de $q_n$ que no es paralelo a cualquier $L_{ij}$ ( $1 \le i < j < n$ ) y, a continuación, la elección de $a_n \in D_n \cap L$, de modo que $a_n$ no se encuentran en la intersección de las $L$ con $L_{ij}$. Para estos dos pasos, el siguiente lema resulta ser útil:
Lema: Vamos a $X = \{x_1, \dotsc, x_n\} \subset [a,b)$, $a > b$, $n \ge 1$, y vamos a los puntos de $x_1, \dotsc, x_n$ distintos y ordenados en orden ascendente, de modo que $x_i < x_j \iff 1 \le i < j \le n$. Definir $x_{n+1} := b$. A continuación,$x := \frac{x_1 + x_2}2 \in [a,b) \setminus X$. (Si $n=0$, $X$ está vacía y, por ejemplo,$x := \frac{a+b}2 \in [a,b) \setminus X$.)
Ahora, necesitamos una línea de $L$ que no es paralelo a cualquier $L_{ij}$. Deje $\alpha_{ij} \in [0, \pi)$ ser el ángulo de la línea de $L_{ij}$ con respecto a algunas de las arbitraria de la línea de referencia (es decir, el $x$-eje). Usando el lema anterior, podemos elegir explícitamente un ángulo de $\alpha \in [0, \pi) \setminus \{\alpha_{ij}: 1 \le i < j <n\}$. Deje $L$ ser la única recta que pasa por el punto de $q_n$ en el ángulo $\alpha$.
Ahora, vamos a $d_{ij}$ ser la distancia de $q_n$ a la intersección de las $L_{ij}$$L$, y deje $X = \{d_{ij}: 1 \le i < j < n\} \cap [0,1/n)$. Usando el lema de nuevo, podemos seleccionar un $x \in [0, 1/n) \setminus X$. Deje $a_n$ ser uno de los dos puntos en $L$ a pie $x$$q_n$. (A elegir entre los dos puntos, podemos por ejemplo, tomar el uno con el menor $x$-coordinar, o con el menor $y$-coordinar si el $x$-coordenadas son iguales).
(Un detalle que me dejó fuera de la construcción anterior, es que también tenemos que garantizar que todos los $a_n$ son distintos, ya que si $a_i = a_j$ cualquier $i < j$, $L_{ij} = \mathbb R^2$ y que no hay forma de elegir a $a_{j+1}$. Por suerte, resulta que es suficiente para asegurarse de que $a_1 \ne a_2$, ya que a partir de entonces la construcción se asegura de que no hay puntos subsiguientes pueden coincidir, como dos puntos coincidentes sería colineal con cualquier tercer punto. Así podemos, por ejemplo, recoger $a_1 = (0,0)$ $a_2 = (0,1)$ y continuar con la construcción arriba descrito, a partir de ahí.)
