¿Los equilibrios inestables conducen a una violación del teorema de Liouville?

Question

El teorema de Liouville dice que el flujo en el espacio de fase es como un fluido incompresible. Una implicación de esto es que si dos sistemas comienzan en puntos diferentes en el espacio de fase, sus trayectorias en el espacio de fase no pueden fusionarse. Pero para un potencial con un equilibrio inestable, creo que he encontrado un contraejemplo.

Considere el potencial a continuación (perdone las malas habilidades de diseño gráfico).

Una partícula que comienza en reposo en el punto A, $(q,p) = (x_A,0)$ en $t = 0$, aceleraría hacia abajo en el potencial hacia la izquierda. Debido a que tiene la cantidad de energía indicada por la línea morada, se detendría en el máximo local B en $t = T$, un equilibrio inestable $(q,p) = (x_B,0). Sin embargo, cualquier partícula que comience en reposo en la cima del máximo local B en $t = 0$ también permanecería así para siempre, incluido hasta $t = T$. Por lo tanto, parece haber dos trayectorias que se fusionan en violación del teorema de Liouville.

Answer 1

El hecho de que las trayectorias no puedan fusionarse (intersectarse) en el espacio de fases no tiene nada que ver con el teorema de Liouville, sino que es una consecuencia del hecho de que las ecuaciones de Hamilton son de primer orden (y el Hamiltoniano es Lipschitz continuo). Mantener el primer orden de las ecuaciones y cambiar arbitrariamente su forma haría que el teorema de Liouville fuera falso, pero las trayectorias no se fusionarían (o se intersectarían) sin embargo.

En segundo lugar, tu ejemplo es engañoso ya que estás observando la proyección de las trayectorias en el espacio de configuraciones 1D en lugar de estudiarlas en el espacio de fases 2D (donde el teorema de Liouville se cumple en passant). Si te quedas en el espacio de fases, verás que las soluciones de las ecuaciones de Hamilton que consideras no se intersectan. Una es simplemente un punto (con $p=0$ y $x$ coincidiendo con la punta B del potencial) y la otra es una trayectoria (cerrada bajo algunas condiciones) alrededor de ese estado. Cuando el movimiento pasa por B en la variable $x$, allí $p\neq 0$ por lo que las trayectorias no se intersectan. Aparentemente esto solo sucede en el espacio de configuraciones.

Answer 2

Descargo de responsabilidad: Gran parte de la siguiente respuesta está tomada de otra respuesta mía en https://physics.stackexchange.com/a/177972/59023 .

Definiciones y antecedentes

Definamos la densidad de partículas en un elemento de volumen, $d \mathbf{x} \ d \mathbf{v}$ a una hora determinada, $t$ centrado en ( $\mathbf{x}$ , $\mathbf{v}$ ) como la cantidad $f(\mathbf{x}, \mathbf{v}, t)$ . Suponemos que esta función es no negativa, contiene una cantidad finita de materia y existe en el espacio de tiempos positivos y $\mathbb{R}^{3}$ y $\mathbb{R}{\scriptstyle_{\mathbf{v}}}^{3}$ , donde $\mathbb{R}{\scriptstyle_{\mathbf{v}}}^{3}$ es el espacio de todas las velocidades posibles. Entonces podemos ver que hay dos maneras de interpretar $f$ : (1) puede ser una aproximación al verdadero espacio fásico densidad de un gas (gran escala comparada con las separaciones entre partículas); o (2) puede reflejar nuestra ignorancia de las verdaderas posiciones y velocidades de las partículas del sistema. La primera interpretación es determinista, mientras que la segunda es probabilística. Esta última fue utilizada implícitamente por Boltzmann [ Villani , 2002, 2006].

La ecuación de Vlasov es la forma sin colisiones de la Ecuación de Boltzmann . El Ecuación de Vlasov se puede escribir como: $$ \frac{ \partial f_{s} }{ \partial t } + \mathbf{v} \cdot \nabla f_{s} + \frac{ \mathbf{F} }{ m_{s} } \cdot \nabla{\scriptstyle_{ \mathbf{v} }} f_{s} = 0 \tag{1} $$ donde $f_{s} = f_{s}(\mathbf{x}, \mathbf{v}, t)$ es la partícula función de distribución de especies $s$ , $\mathbf{F}$ es una fuerza externa, y $\nabla_{\mathbf{v}}$ = $\hat{\mathbf{x}}$ $\partial$ / $\partial v_{x}$ + $\hat{\mathbf{y}}$ $\partial$ / $\partial v_{y}$ + $\hat{\mathbf{z}}$ $\partial$ / $\partial v_{z}$ . Podemos modificar la ecuación 1 utilizando la ecuación de Lorentz para $\mathbf{F}$ para los campos electromagnéticos e introduciendo una perturbación lineal para cualquier cantidad variable de la forma A $\rightarrow$ $\langle A \rangle + \delta A$ . Aquí hemos asumido que $\langle \ \rangle$ es una media de conjunto y $\delta$ representa las fluctuaciones en torno a la media ( $\langle \delta A \rangle$ = 0). El resultado se conoce como el modelo Vlasov-Poisson-Fokker-Planck, donde el lado izquierdo de la ecuación 1 es la parte Vlasov-Poisson (Vlasov-Maxwell si hay campos electromagnéticos) y las perturbaciones de $\langle f \rangle$ y $\delta f$ debido a $\delta \mathbf{E}$ y $\delta \mathbf{B}$ crean un término de colisión efectivo análogo al operador de colisión de Fokker-Planck (por ejemplo Operador de BGK ). Por lo tanto, dejamos que lo siguiente sea cierto: $$ \begin{align} f_{s} & \rightarrow \langle f_{s} \rangle + \delta f_{s} \tag{2a} \\ \mathbf{E} & \rightarrow \langle \mathbf{E} \rangle + \delta \mathbf{E} \tag{2b} \\ \mathbf{B} & \rightarrow \langle \mathbf{B} \rangle + \delta \mathbf{B} \tag{2c} \end{align} $$

Ecuación de Liouville

Sabemos que $\langle f \rangle$ (implicamos el subíndice $s$ pero lo han dejado por pereza) satisface Ecuación de Liouville o más apropiadamente, $\partial \langle f \rangle$ / $\partial t = 0$ . En general, la ecuación del movimiento dice: $$ \frac{ \partial f }{ \partial t } = f \left[ \left( \frac{ \partial }{ \partial \mathbf{q} } \frac{ d\mathbf{q} }{ dt } \right) + \left( \frac{ \partial }{ \partial \mathbf{p} } \frac{ d\mathbf{p} }{ dt } \right) \right] + \left[ \frac{ d\mathbf{q} }{ dt } \cdot \frac{ \partial f }{ \partial \mathbf{q} } + \frac{ d\mathbf{p} }{ dt } \cdot \frac{ \partial f }{ \partial \mathbf{p} } \right] \tag{3} $$ donde hemos definido el espacio de fase canónico de ( $\mathbf{q}$ , $\mathbf{p}$ ). Si simplificamos los términos $dA/dt$ a $\dot{A}$ y que $\boldsymbol{\Gamma} = (\mathbf{q}, \mathbf{p})$ entonces encontramos..: $$ \begin{align} \frac{ \partial f }{ \partial t } & = - f \frac{ \partial }{ \partial \boldsymbol{\Gamma} } \cdot \dot{\boldsymbol{\Gamma}} - \dot{\boldsymbol{\Gamma}} \cdot \frac{ \partial f }{ \partial \boldsymbol{\Gamma} } \tag{4a} \\ & = - \frac{ \partial }{ \partial \boldsymbol{\Gamma} } \cdot \left( \dot{\boldsymbol{\Gamma}} f \right) \tag{4b} \end{align} $$ donde encontramos que la última forma se parece a la ecuación de continuidad . Si definimos la derivada total del tiempo como: $$ \frac{ d }{ dt } = \frac{ \partial }{ \partial t } + \dot{\boldsymbol{\Gamma}} \cdot \frac{ \partial }{ \partial \boldsymbol{\Gamma} } \tag{5} $$ entonces podemos demostrar que la tasa de cambio temporal de la función de distribución viene dada por: $$ \begin{align} \frac{ d f }{ dt } & = \frac{ \partial f }{ \partial t } + \dot{\boldsymbol{\Gamma}} \cdot \frac{ \partial f }{ \partial \boldsymbol{\Gamma} } \tag{6a} \\ & = - \left[ f \frac{ \partial }{ \partial \boldsymbol{\Gamma} } \cdot \dot{\boldsymbol{\Gamma}} + \dot{\boldsymbol{\Gamma}} \cdot \frac{ \partial f }{ \partial \boldsymbol{\Gamma} } \right] + \dot{\boldsymbol{\Gamma}} \cdot \frac{ \partial f }{ \partial \boldsymbol{\Gamma} } \tag{6b} \\ & = - f \frac{ \partial }{ \partial \boldsymbol{\Gamma} } \cdot \dot{\boldsymbol{\Gamma}} \tag{6c} \\ & \equiv - f \Lambda\left( \boldsymbol{\Gamma} \right) \tag{6d} \end{align} $$ donde $\Lambda$ ( $\boldsymbol{\Gamma}$ ) se llama el \textit{factor de compresión del espacio de fase} [ Evans y Morriss , 1990]. Nótese que las ecuaciones 6a a 6d son formas diferentes de la ecuación de Liouville, que se han obtenido sin referencia a las ecuaciones de movimiento y no requieren la existencia de un hamiltoniano. Podemos reescribir la ecuación 6d en la siguiente forma: $$ \frac{ d }{ dt } \ln \lvert f \rvert = - \Lambda\left( \boldsymbol{\Gamma} \right) \tag{7} $$ Esta ecuación parece diferente a la versión habitual de la ecuación de Liouville porque no se ha derivado de un hamiltoniano. Si las ecuaciones de movimiento se pueden generar a partir de un hamiltoniano, entonces $\Lambda \left( \boldsymbol{\Gamma} \right) = 0$ incluso en presencia de campos externos que actúan para alejar el sistema del equilibrio. Nótese que la existencia de un Hamiltoniano es una condición suficiente, pero no necesaria, para $\Lambda \left( \boldsymbol{\Gamma} \right) = 0$ . Para el espacio de fase incompresible, recuperamos la forma simple de la ecuación de Liouville: $$ \frac{ d f }{ dt } = 0 \tag{8} $$ Sin embargo, el teorema de Liouville puede ser violado por cualquiera de los siguientes:

• fuentes o sumideros de partículas;
• existencia de fuerzas de colisión, de disipación o de otro tipo que causen $\nabla{\scriptstyle_{ \mathbf{v} }} \cdot \mathbf{F} \neq 0$ ;
• límites que provocan el atrapamiento o la exclusión de las partículas, de modo que sólo se pueden mapear partes de una distribución de un punto a otro;
• las inhomogeneidades espaciales que provocan el filtrado de la velocidad (por ejemplo $\mathbf{E} \times \mathbf{B}$ -difusiones que impiden que las partículas con velocidades menores lleguen al lugar que habrían alcanzado si no hubieran derivado); o
• la variabilidad temporal en la fuente o en otro lugar que lleva a la observación no simultánea de trayectorias opuestas.

Preguntas y respuestas

El teorema de Liouville dice que el flujo en el espacio de fase es como un fluido incompresible. Una de las implicaciones de esto es que si dos sistemas comienzan en puntos diferentes del espacio de fase, sus trayectorias en el espacio de fase no pueden fusionarse.

No estoy seguro de que esto sea del todo cierto. Si miras la ecuación 7 de arriba, verás que la forma general tiene la compresibilidad del espacio de fase incorporada.

Por lo tanto, parece que hay dos trayectorias que se fusionan en violación del torema de Liouville.

Contrariamente a lo que muchos pueden pensar, la forma comúnmente expresada del teorema de Liouville es un caso muy específico en el que no se da ninguno de los ejemplos que he enumerado anteriormente, preservando así un espacio de fase incompresible.

Por ejemplo, mire la ecuación de Boltzmann con el operador de colisión irreversible en el lado derecho. Esa ecuación presenta una situación en la que $\tfrac{ d f }{ dt } \neq 0$ , violando así la forma simplificada del torema de Liouville.

Referencias

• Evans, D.J., y G. Morriss Mecánica estadística de los líquidos en desequilibrio, 1ª edición Academic Press, Londres, 1990.
• Penrose, O. "Fundamentos de la mecánica estadística". Rep. Prog. Phys. 42 , pp. 1937-2006, doi:10.1088/0034-4885/42/12/002, 1979.
• Villani, C. "Chapter 2: A review of mathematical topics in collisional kinetic theory", pp. 71-74, North-Holland, Washington, D.C., doi:10.1016/S1874-5792(02)80004-0, 2002.
• Villani, C. "Entropy production and convergence to equilibrium for the Boltzmann equation", en XIV Congreso Internacional de Física Matemática editado por J.-C. Zambrini, pp. 130-144, doi:10.1142/9789812704016_0011, 2006.

Answer 3

Algunos comentarios sobre la pregunta que estás haciendo:

• La ecuación de Liouville no describe una sola partícula, sino un conjunto de estados que evolucionan según las leyes de la mecánica. La ecuación de Liouville dice que la entropía del sistema permanece constante en todo momento, lo que significa que esta ecuación describe procesos isentrópicos y nada más. El acercamiento al equilibrio está acompañado de un aumento de entropía, algo que la ecuación de Liouville no puede manejar.

• La afirmación de que "dos sistemas que comienzan en diferentes puntos en el espacio de fases no pueden fusionar sus trayectorias en el espacio de fases" es correcta, pero no es una consecuencia de la ecuación de Liouville. Se sigue del hecho de que las ecuaciones diferenciales de movimiento tienen una solución única para una condición inicial dada. La fusión implicaría que dos condiciones iniciales diferentes producen el mismo estado en algún momento posterior, lo cual no es posible.

• Tu ejemplo no viola la unicidad de las trayectorias. Para violarla, necesitas encontrar dos trayectorias diferentes en el mismo potencial, con ambas trayectorias comenzando en $A$ y terminando en $B$.

Answer 4

Simplemente, el teorema de Liouville implica que las dos partículas no pueden tomar el mismo estado en t=T porque sus trayectorias de estado se comportan como corrientes en un fluido incomprensible. Físicamente, cuando la primera partícula llega a B, empujará a la segunda partícula y la lanzará hacia el lado izquierdo.