Cómo evaluar : $$\lim_{n\to\infty}\int_0^n\left(1-\frac{x}{n}\right)^n\text{e}^{\frac{x}{2}}\text{d}x$$
Respuesta
¿Demasiados anuncios?
Romulo Ceccon
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He aquí una prueba usando el teorema del sándwich (según lo solicitado por Ryan en los comentarios sobre Marvis de respuesta).
Para $x = o(n)$ $n$ lo suficientemente grande como hemos
$$ n \log\left(1-\frac{x}{n}\right) = -\sum_{k=1}^{\infty} \frac{x^k}{k n^{k-1}} \geq - x - \frac{x^2}{n}, $$
así que
$$ \left(1-\frac{x}{n}\right)^n \geq e^{-x-x^2/n}. $$
Esto le da
$$ \begin{align*} \int_0^n \left(1-\frac{x}{n}\right)^n e^{x/2} \,dx &\geq \int_0^{n^{1/4}} \left(1-\frac{x}{n}\right)^n e^{x/2}\,dx \\ &\geq \int_0^{n^{1/4}} e^{-x/2-x^2/n}\,dx \\ &\geq e^{-1/\sqrt{n}} \int_0^{n^{1/4}} e^{-x/2}\,dx. \end{align*} $$
La última expresión converge a
$$ \int_0^\infty e^{-x/2}\,dx = 2 $$ como $n \to \infty$. Marvis respuesta muestra que
$$ \int_0^n \left(1-\frac{x}{n}\right)^n e^{x/2} \,dx \leq \int_0^\infty e^{-x/2}\,dx = 2, $$
así llegamos a la conclusión del teorema del sándwich que
$$ \int_0^n \left(1-\frac{x}{n}\right)^n e^{x/2}\,dx \longrightarrow 2 $$
como $n \to \infty$.
