Prueba de verificación: Utilizando la definición para encontrar la derivada de $f(x)=\sqrt{x}$.

Question

Estoy básicamente de aprendizaje análisis en el mío propio, ya que tengo un tiempo difícil ir a clase debido a las circunstancias personales. En cualquier caso, a mi entender es mediocre y estaba esperando que alguien me podria decir si mi prueba es correcta, así como aclarar algunos puntos para mí. La definición con la que estoy trabajando es la siguiente:

Deje $f:D\rightarrow\mathbb R$$x_{0}\in D$. Entonces, la función se dice diferenciable en a $x_{0}$ si y sólo si el límite de $x$ enfoques $x_{0}$ $\ \dfrac{f(x)-f(x_{0})}{x-x_{0}}$ existe para cada una de las $x\not=x_{0}$.

¿Por qué debe $x_{0}$ ser un punto de acumulación de a $D$? ¿Por qué no basta con decir que el$x_{0}$$D$$x\not=x_{0}$? También, el hecho de que nos tomamos el límite de $x$ enfoques $x_{0}$ implica que la derivada no puede ser definido en $x_{0}$? Si es así, ¿por qué terminamos de conectar $x_{0}$$x$, sin embargo?

Todavía puedo hacer que el problema porque solo puedo mecánicamente aplicar la definición de uso de la mano-saludó nociones de cálculo, pero me gustaría obtener una comprensión más profunda del concepto. Gracias de antemano.

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Problema. Usar la definición para encontrar la derivada de $f(x)=\sqrt(x)$$x>0$. Es $f$ derivable en cero? Explique.

Solución. Deje $f:(0,\infty)\rightarrow \mathbb R;f(x)=\sqrt{x}$, e $x_{0}\in (0,\infty)$ ser un punto de acumulación de a $(0,\infty)$.

Debemos encontrar $f'$ tal que para todo $x_{0}$, $f'(x_{0})$ se define como: $\lim_{x\rightarrow x_{0}}\dfrac{f(x)-f(x_{0})}{x-x_{0}}$ existe. Tenga en cuenta que, $$x-x_{0}=(\sqrt{x}-\sqrt{x_{0}})(\sqrt{x}+\sqrt{x_{0}}).$$ A continuación, \begin{align*}f'(x_{0})=\lim_{x\rightarrow x_{0}}\dfrac{f(x)-f(x_{0})}{x-x_{0}} &=\lim_{x\rightarrow x_{0}}\dfrac{\sqrt{x}-\sqrt{x_{0}}}{(\sqrt{x}-\sqrt{x_{0}})(\sqrt{x}+\sqrt{x_{0}})}\\ &=\lim_{x\rightarrow x_{0}}\dfrac{1}{\sqrt{x}+\sqrt{x_{0}}}\\ &=\dfrac{1}{2 \sqrt{x_{0}}}. \end{align*}

Answer 1

Cuando tratamos de encontrar la derivada de una función $x_o$, lo que básicamente estamos tratando de encontrar es la pendiente en el punto determinado de la $f(x)$.Así que cuando usted trata de encontrar la derivada de una función en un punto determinado, esto $x_o$ debe estar en el dominio de la función. Otra cosa, usted no puede encontrar la derivada en un punto fuera del dominio de la causa no se puede encontrar la pendiente en este punto.

El hecho de que $x$ enfoques $x_o$ pasa sólo por el hecho de que he explicado antes: Usted quiere encontrar la pendiente. Como usted ya sabe, usted puede encontrar la pendiente de una recta conociendo dos puntos de esta línea. Pero, ¿qué significa para encontrar la pendiente en un punto determinado? Básicamente significa para encontrar la pendiente de $x$ $x_o$donde $x$ está muy cerca de a $x_o$, pero no es igual. Es como pensar que la función en el intervalo de $(x,x_o)$ es una línea recta, puede provocar que el intervalo es muy pequeño. Si $x=x_o$, entonces usted no puede encontrar cualquier pendiente.

La sustitución de $x_o$ depende de qué tipo de límite. Si el límite terminan por ser de la forma$\frac{0}{0}$, entonces usted debe tratar otros trucos.

Espero que me ayudó!